[obm-l] RES: [obm-l] Dúvida para determinar a fórmula

["Rubens Kamimura" <rubens.kamimura@xxxxxxxxxxx>]

Grato, Big Maestro!

Rubens

 

De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx] Em nome de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: sexta-feira, 23 de novembro de 2007 21:26
Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Assunto: Re: [obm-l] Dúvida para determinar a fórmula

 

Olá novamente Rubens,

acabei de ver um deslize.. hehehe
bom.. dm(t)/dt = m_entra'(t) - m_sai'(t)..

vamos demonstrar isso: m(t + d) - m(t) = m_entra'(t)*d - m_sai'(t)*d ... dividindo por d e fazendo d->0, esta provado!

agora: dm/dt = 6*1/3 - 6*m(t)/80 ... 40m'(t) + 3m(t) - 80 = 0 ... m(0) = 80

solucao da homogenea: 40h'(t) = -3h(t) .... h(t) = c1*exp[-3/40t]
solucao particular: p(t) = 80/3

logo: m(t) = 80/3 + c1*exp(-3/40t)
assim: 80 = 80/3 + c1 ... c1 = 160/3

logo: m(t) = 80/3 + 160/3*exp(-3/40t)

solucao um pouco diferente da anterior..

abraços,
Salhab

On Nov 23, 2007 8:26 PM, Marcelo Salhab Brogliato < msbrogli@xxxxxxxxx> wrote:

Olá Rubens,

acredito que seja uma questão para os engenheiros químicos de plantão, mas vou tentar...

Seja m(t) a massa de sal no tanque no instante de tempo t..

temos que: dm(t)/dt = m_sai(t) - m_entra(t)
derivando em relação à t, temos: m''(t) = m_sai'(t) - m_entra'(t)
m_entra'(t) = 1/3 * 6 = 2 kg sal/min
m_sai'(t) = 6 * m(t) / 80 kg sal/min

logo: m''(t) = 3m(t)/40 - 2 .. multiplicando por 40, temos: 40m''(t) - 3m(t) = -80
basta resolvermos a EDO agora...
a eq. caracteristica da homogenia associada é: 40r^2 - 3 = 0 .... r = +-sqrt(3/40)

logo: m(t) = 80/3 + c1 * exp(sqrt(3/40)t) + c2 * exp(-sqrt(3/40)t)

qto t->inf, m(t) nao pode divergir, logo: c1 = 0
como m(0) = 80, temos que: 80 = 80/3 + c2 .... c2 = 160/3

logo: m(t) = 80/3 + 160/3 * exp(-sqrt(3/40)t)

abraços,
Salhab

On Nov 23, 2007 1:29 PM, Rubens Kamimura < rubens.kamimura@xxxxxxxxxxx> wrote:

 Caríssimos aprendizes, companheiros, mestres e doutores;

 

1.      Boa tarde,

2.      Como poderíamos encontrar a fórmula para esta questão:

 

a)    No instante t = 0, um tanque contém k quilos de sal dissolvido em 80 galões de água;

 

b)   Suponha que estejamos adicionando ao tanque 1/3 kg de sal por galão, à razão de 6 gal/min, e que a solução, bem agitada, esteja sendo drenada do tanque à  mesma taxa.

 

Ø  Estabeleça uma fórmula para a quantidade f(t) de sal no tanque no instante t.

 

Sds fraternais

 

上村　ルベース

Rubens

Neófito em matemática

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