Re: [obm-l] trigonometria

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Nov 7, 2007 5:07 PM, Graciliano Antonio Damazo
<bissa_damazo@xxxxxxxxxxxx> wrote:
> Galera, estou com uma dificuldade de resolver este exercicio:
>
> 1) prove  que: tg20º.tg30º.tg40º = tg10º

Seja z = exp(pi i/18) = cos(10 graus) + i sen(10 graus).

Temos
i tan(10 graus) = (z-z^(-1))/(z+z^(-1))
i tan(20 graus) = (z^2-z^(-2))/(z^2+z^(-2))
i tan(30 graus) = (z^3-z^(-3))/(z^3+z^(-3))
i tan(40 graus) = (z^4-z^(-4))/(z^4+z^(-4))

donde basta verificar que
(z-z^(-1))(z^2+z^(-2))(z^3+z^(-3))(z^4+z^(-4)) +
(z+z^(-1))(z^2-z^(-2))(z^3-z^(-3))(z^4-z^(-4)) = 0.

Para isso basta expandir o lado esquerdo que dá
2*(z-1)*(z+1)*(z^2+1)*(z^4+1)*(z^12-z^6+1)/z^10.

Assim basta verificar que z^12-z^6+1 = 0.
Mas z^12-z^6+1 = (z^18+1)/((z^2+1)*(z^4-z^2+1)) = 0.

N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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