Re: [obm-l] 2^k=k^2

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

"Nicolau C. Saldanha" wrote:

> On Nov 2, 2007 1:55 PM, Carlos Nehab <nehab@xxxxxxxxxxxxxxx> wrote:
> >
> >  Oi, Lenadro,
> >
> >  Dê uma olhada em
> >  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200611/msg00093.html
>
>

Oi Nicolau:


> Se x fosse algébrico irracional então y = 2^x seria transcendente
> pois algébrico diferente de 0 e 1 elevado a algébrico irracional dá
> transcendente.
> Por outro lado y = x^2 é algébrico, absurdo.
>
> Claro que isso não exclui em princípio a possibilidade de x admitir
> uma expressão
> relativamente simples em termos de funções elementares (exp, log, sin, cos, ...)
> mas acho extremamente improvável que isto ocorra.
>

  Você acha improvável porque 2^x admite representação em termos de série
de potências ? E que não deveria haver uma composição destas representações em
séries que levasse à solução da equação em termos de funções
elementares (sin, cos, exp, ln, etc) ?
Esse tópico parece interessante.  Euler conseguiu provar
que e^{ix} = cos x + i sen x usando representações em séries de potências, assim uma

equação do tipo e^x = -1 admite muitas soluções para x imáginário (inclusive
negativo).
  Pensei no seguinte:

x^2 = 2^x
2 ln x = x ln 2
  ln x = x (ln 2/ 2)
    x = e^(x ln 2 /2 )
    x ^{2/ln 2} = e^x = 1 + x + x^2/2 + ...+ infinitos termos

 ==>

   1 + x - x ^{2/ln 2}   + x^2/2 + ...  = 0
   ou
      f(x) = 0
com f(x) =  1 + x - x ^{2/ln 2}   + x^2/2 + ... = 0

o problema parece ser que o expoente de x é irracional do lado esquerdo de modo
que deveriam haver infinitas composições de funções g_i (x) para que a função
resultante
fosse f(x).  Em outras palavras, se

  g_1 * g_2 *... *g_n  = f(x)

então n--> oo.  Se existisse n a solução seria:

x = g_n^{-1} o ... o  g_2^{-1} o g_1^{-1}(0)

onde g_i^{-1} denota a inversa de g_i.
Seria este o caminho para uma prova formal
deste fato ?

Ronaldo.

>
> N.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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