[obm-l] Convergencia de sequencia de polinomios

|Inicialmente, vamos provar o seguinte Lema: Para cada i =0,1,2...m, seja c_i_n a sequencia formada pelos coeficientes de grau i dos P_n. Se cada uma desta sequencias convergir para algum complexo c_i, entao P_n converge em C para o polinomio P(z) = c_0 + c_1 z ....c_m z^m.

Isto eh facil de ver. Basta observar que, para z fizo, P_n(z) eh uma combinacao linear das sequencias c_i_n, i =0,1,...m, na qual os coeficientes da combinacoes sao as potencias de z, z^0, z^1....z^m. Como cada sequencia c_i_n converge para c_i, eh imediato que P_n(z) converge para c_0 + c_1 z ....c_m z^m = P(z). E como isto vale para cada complexo z, fica demonstrado que P_n --> P em todo o C.

Vamos agora demonstrar que, se P_n convergir no conjunto {z_0, z1, ...z_m}, entao as condicoes do lema sao satisfeitas. Ai entra um raciocinio muito semelhante ao seu. Conforme sabemos da Algebra Linear aplicada a polinomios, dados m+1 complexos distintos 2 a 2, z_0....z_m, e m+1 complexos quaisquer, y_0...y_m, existe um, e somente um, polinomio de grau <= m que passa pelos pontos (z_0, y_0), ...(z_m, y_m). Os coeficientes deste polinomio sao dados pela chamada Formula da Interpolacao de Lagrange, atraves de uma transformacao linear do vetor coluna [y_0....y_m]. Assim, sendo c o vetor coluna com os coeficientes, temos que existe uma matriz A, cujos termos dependem apenas de z_0...z_m, que eh a matriz nao singular de Vandermont, tal que c = A y

Cada um dos polinomios P_n passa pelos pontos (z_0, P_n(z_0))....(z_m, P_n(z_m)), de modo que, sendo c_n o vetor coluna dos coeficientes de P_n e y_n = [P_n(z_0)),......P_n(z_m))], temos que c_n = A y_n Logo, cada c_n eh a transformacao linear do vetor coluna y_n definida pela matriz A, que eh constante, independe de n. Como, por hipotese, P_n converge em {z_0, z1, ...z_m}, cada uma das sequencias P_n(z_i), i=0,1,...m, converge para algum complexo y_i, ou seja, y_n --> [y_0,...y_m]. Assim, lim c_n = lim A y_n = Ay, o que nos informa que as sequencias c_i_n, formadas pelos coeficientes de mesmo grau de P_n, convergem em C para cada um dos termos do vetor Ay. Pelo lema anterior, concluimos que P_n converge entao em todo o C para um polinomio P cujos coeficientes sao os limites das c_i_n.

Observe que a hipotese de que a sequencia dos graus dos polinomios foi usada na Formula de Lagrange. Isto eh de fato fundamental, pois em isso o lema nao vale. Em vez de os limites definirem um polinomio, definem entao uma serie de potencias e tudo fica muito mais complicado.

Suponhamos agora que P_n convirja em C e seja S um subconjunto limitado de C. Pela conclusao anterior, P = lim P_n eh um polinomio de grau <= m, logo uma funcao continua em C. Pelo que vimos, as sequencias c_i_n dos coeficientes de mesmo grau dos P_n convergem em C para os complexos c_i que definem P. Como o numero destes coeficientes eh finito, para todo eps >0 podemos achar um k tal que n >= k => |c_i_n - c_i| < eps para cada i=0,1,...m. Assim, para todo z de S temos, para n >= k, que

, sendo f a funcao de C em R+ dada por f(z) = |1| + |z|....+|z|^m, a qual eh uma funcao continua. Sendo S' o fecho de S, temos pelo teorema de Heine Borel que S' eh compacto, de modo que f apresenta um maximo M em S'. Temos tambem, pela continuidade da funcao f, que M eh o supremo de f em S, de modo que 0 < = f(z) <= M para todo z de S . Combinando-se com (1), temos entao, para n >=k, que

|P_n(z) - P(z)| <= M eps, para todo z de S. Como M independe de eps e de n, concluimos que a convergencia de P_n para P eh uniforme. Poderiamos ter partido de eps/M para chegarmos no final em eps,