Re: [obm-l] Conjuntos finitos

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

Olá Marcelo \o/

vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática

costuma-se definir
somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),

só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
sim, definir da seguinte maneira

somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
se n>0, n natural e se n=0

somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
, i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
inferior inteiro e superior inteiro


somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
se p>0, p natural e se p=0

somatorio k=a até a f(k)=f(a)

com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à "a"
então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.

para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
somatorio k=b até a f(k) =0  se a>b (i.e se o limite superior é menor
que o limite inferior)

com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
somatorios como

somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
se s>=a e b>=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
geral de certo modo)

mas ai estava pensando em definir somatorios em outros  conjuntos
finitos, por exemplo, definir  formalmente somatorio sobre primos em
um intervalo etc...
na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
tendo sobre esse assunto

abraços

Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato<msbrogli@xxxxxxxxx> escreveu:
> Olá Rodrigo,
>
> pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
> geral..
> { a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e "a" é qualquer
> coisa.. hehe (bem informal)
> sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
> Seja A um conjunto tal que |A| = n.
> Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n -> A
> onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
> façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
> deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
> vamos chegar em A_n = {} ...
>
> Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
> finitos com
> relação de ordem... :))
>
> um abraço,
> Salhab
>
>
>
>
> On 10/29/07, Rodrigo Renji <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> wrote:
> >
> > Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu  formulei
> > hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
> > números com uma relação de ordem  finito ele possui um máximo e se
> > formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
> > chega "uma  hora" que ele se torna o conjunto vazio
> > ex:
> > {0, 2.2 ,3}
> > tira o máximo (3)
> > { 0, 2.2}
> > tira o maximo (2.2)
> > {0}
> > tira o maximo 0
> > {}
> >
> > acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
> > não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
> > chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
> > eu estava/estou pensando sobre essa questão).  A principio estava
> > pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
> > ( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
> > é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
> > conjuntos númericos ?)
> >
> >
> > esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
> > somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
> >
> > abraços
> > Em 27/10/07, Marcelo Salhab Brogliato<msbrogli@xxxxxxxxx> escreveu:
> > > Olá Rodrigo,
> > >
> > > achei a formulação um tanto estranha... nao acho correto dizer: "Existe
> n
> > > tal que S(n) = vazio"... pois n está definido na questão..
> > > acredito que deveria ser: "Se S(n) = vazio, entao |S(n)| = n ?"
> > >
> > > |S(0)| = |S|
> > > |S(1)| = |S(0) - {max S(n)}| .. como {max S(n)} E S(0), e |{max S(n)}| =
> 1,
> > > entao: |S(1)| = |S| - 1
> > > por inducao: |S(k)| = |S| - k
> > >
> > > vamos supor que |S| > n, entao |S(n)| > 0, absurdo! Pois |S(n)| = 0 por
> > > hipótese..
> > > vamos supor que |S| < n, entao |S(|S|)| = 0... assim: |S(n)| = 0
> > > vamos supor que |S| = n, entao |S(n)| = 0... assim: |S(n)| = 0
> > >
> > > logo, podemos concluir que S é finito, e que a cardinalidade S é menor
> ou
> > > igual a n...
> > >
> > > abraços,
> > > Salhab
> > >
> > >
> > >
> > > On 10/27/07, Rodrigo Renji <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> wrote:
> > > >
> > > > Seja
> > > > S um conjunto
> > > > defino
> > > > (n natural)
> > > >
> > > > S(n+1)=S(n)-{max S(n)}
> > > > S(0)=S
> > > >
> > > > (se S(n) possui máximo) [prestar atenção nessa condição]
> > > >
> > > > Se existe n, tal que s(n)=vazio
> > > > então n é finito e tem n elementos?
> > > >
> > > > e se um conjunto é finito vale a propriedade acima?
> > > > (relaçao de se e somente se).
> > > >
> > > >
> > >
> =========================================================================
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > > >
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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