Re: [obm-l] Expansão de termos -proposta de problema

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

Puxa eu tive maior trabalho pra fazer isso (em um intervalo entre
aulas na faculdade) mas acabei chegando na mesma recorrência. Sobre os
números de stirling do segundo tipo eu estudei um pouco deles e
demonstrei como se transformar esses fatores tem algum tempo... eu li
no livro do Knuth, concrete mathematics, foi lá que aprendi um pouco
disso, uma coisa que acho interessante é o seguinte

é possivel transformar o produto dos fatores

x(x-h)(x-2h). ... . (x-h(n-1)) em potencias usando numeros de stirling
do primeiro tipo tb
eu acho que a formula é a seguinte
somatorio k=0 até n de [n,k] h^( n-k) .x^k, acho que h, pode ser real
ou complexo.
([n,k]) numeros de stirling do primeiro tipo

e a outra transformar potencia
x^n em soma de termos do tipo  x(x-h)(x-2h). ... . (x-h(n-1))

acho que fica da forma
x^n=somatorio k=0 até n de {n,k} h^(n-k) .x^(n,h)

onde x^(n,h)=x(x-h)(x-2h). ... . (x-h(n-1))
e {n,k} são numeros de stirling do segundo tipo
no ingles são chamados de factorial power, eu chamo de potencias fatoriais

tem relaçoes que acho bonitas com x^(n,h), primeiro que x^(n,0)=x^n
segundo n^(n,1)=n!
somatorio x^(n,1)=x^(n+1,1)/n+1
seja Df(x)=f(x+1)-f(x) então Dx^(n,1)=nx^(n-1,1)

com os numeros de stirling é possivel transformar a potencia em
potencia fatorial, depois calcular o somatorio de maneira mais simples

um outro exemplo de relação onde aparecem numeros de stirling
enesima derivada de f(e^x), os coeficientes que aparecem são numeros
de stirling do segundo tipo, eu cheguei num resultado envolvendo os
dois numeros

seja um operador T (pode ser numero) que satisfaz
T^0 g(x)=g(x)
T[T^n g(x)]=T^(n+1)g(x)
que T possa passar para dentro de somatorios

seja um operador P que satisfaz (pode ser numeros)
P^0 g(x)=g(x)
P[P^n g(x)]=P^(n+1)g(x) e
Pkg(x)=kPg(x) para qualquer número P
com aplicação de T e P comutando
se temos uma função de duas variaveis g(k,x) e g(x)
g(k,x) definida pelo menos para numeros naturais
e
g(x)=g(0,x) e com T aplicando em g(k,x) resultando
Tg(k,x)=kg(k,x)+g(k+1,x)

então
T^n g(x)= soma k=0 até n de {n,k} P^(n-k)g(k,x)
e com algumas outras relações temos

g(n,x)= soma k=0 ate n [n,kP^(n-k)T^k g(x)

essas relações, acho, que contem as outras postadas aqui

abraços =P

Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato<msbrogli@xxxxxxxxx> escreveu:
> Apenas para complementar um pouco sua postagem, segue um exercício
> interessante:
> Calcule a derivada e a integral de x(x-1)(x-2)...(x-n+1).. [dica: use
> números de Stirling]
>
> Também te proponho o inverso...
> vc fez: x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x + 2x ... isto é: encontrarmos os coeficientes
> de x, x^2, x^3...
> te proponho:
> x = x
> x^2 = x(x-1) + x
> x^3 = x(x-1)(x-2) + 3x(x-1) + x
>
> encontrar os coeficientes de x, x(x-1), x(x-1)(x-2), ...
> estes coeficientes sao chamados de numeros de Stirling de 2a. ordem
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
>
> On 10/29/07, Marcelo Salhab Brogliato <msbrogli@xxxxxxxxx> wrote:
> > Olá Rodrigo,
> >
> > são os números de Stirling
> (http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number ).
> >
> > vamos mostrar algumas coisas legais...
> > digamos que:
> > x(x-1)(x-2)...(x-n+1) = Sum {k=1..n} S[n, k].x^k
> > então:
> > x(x-1)(x-2)...(x-n+1)(x-n) = Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k
> >
> > pegando a primeira e multiplicando por (x-n), temos:
> > x(x-1)(x-2)...(x-n+1)(x-n) = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^k ).(x-n)
> > Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^k ).(x-n)
> > Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^(k+1) ) - ( Sum
> {k=1..n} nS[n, k].x^k )
> > Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=2..n+1} S[n, k-1].x^k ) - ( Sum
> {k=1..n} nS[n, k].x^k )
> > Sum{k=2..n} S[n+1, k].x^k + S[n+1, n+1].x^(n+1) + S[n+1, 1].x = ( Sum
> {k=2..n} (S[n, k-1] - nS[n, k]).x^k ) + S[n, n].x^(n+1) - nS[n, 1].x
> >
> > portanto:
> > S[n+1, 1] = -nS[n, 1]
> > S[n+1, k] = S[n, k-1] - nS[n, k] ... k=2, 3, ..., n
> > S[n+1, n+1] = S[n, n]
> >
> > x=x... entao: S[1,1] = 1
> >
> > x(x-1) = x^2 - x
> > S[2, 1] = - 1.S[1, 1] = -1 ... ok!
> > S[2, 2] = S[1, 1] = 1 ... ok!
> >
> > x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x + 2x
> > S[3, 1] = -2.S[2, 1] = -2.(-1) = 2 ... ok!
> > S[3, 2] = S[2, 1] - 2.S[2, 2] = -1 - 2.1 = -3 ... ok!
> > S[3, 3] = S[2, 2] = 1 ... ok!
> >
> > x(x-1)(x-2)(x-3) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x
> > S[4, 1] = -3.S[3, 1] = -3.2 = -6 .... ok!
> > S[4, 2] = S[3, 1] - 3.S[3, 2] = 2 - 3.(-3) = 11 ... ok!
> > S[4, 3] = S[3, 2] - 3.S[3, 3] = -3 - 3.1 = -6 ... ok!
> > S[4, 4] = S[3, 3] = 1 ... ok!
> >
> > e assim por diante.. :)
> >
> > abraços,
> > Salhab
> >
> >
> >
> >
> > On 10/27/07, Rodrigo Renji <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> wrote:
> > > Tente encontrar uma formula para os coeficientes da potência que
> > > aparecem na expansão de
> > >
> > > x(x-1)(x-2). ... (x-n)
> > >
> > > i.e
> > > x=x
> > > x(x-1)=x²-x
> > >
> > > x(x-1)(x-2)=x³-3x+2x
> > >
> > >
> > > x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4 -6x³+11x²-6x
> > >
> > > etc...
> > > (a fórmula existe, é uma recorrência de duas variáveis)
> > >
> > >
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> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > >
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