Re: [obm-l] Expansão de termos -proposta de problema

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Apenas para complementar um pouco sua postagem, segue um exercício interessante:
Calcule a derivada e a integral de x(x-1)(x-2)...(x-n+1).. [dica: use números de Stirling]

Também te proponho o inverso...
vc fez: x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x + 2x ... isto é: encontrarmos os coeficientes de x, x^2, x^3...
te proponho:
x = x
x^2 = x(x-1) + x
x^3 = x(x-1)(x-2) + 3x(x-1) + x

encontrar os coeficientes de x, x(x-1), x(x-1)(x-2), ...
estes coeficientes sao chamados de numeros de Stirling de 2a. ordem

abraços,
Salhab

On 10/29/07, Marcelo Salhab Brogliato <msbrogli@xxxxxxxxx> wrote:

Olá Rodrigo,

são os números de Stirling (http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number ).

vamos mostrar algumas coisas legais...
digamos que:
x(x-1)(x-2)...(x-n+1) = Sum {k=1..n} S[n, k].x^k
então:
x(x-1)(x-2)...(x-n+1)(x-n) = Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k

pegando a primeira e multiplicando por (x-n), temos:
x(x-1)(x-2)...(x-n+1)(x-n) = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^k ).(x-n)
Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^k ).(x-n)
Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=1..n} S[n, k].x^(k+1) ) - ( Sum {k=1..n} nS[n, k].x^k )
Sum{k=1..n+1} S[n+1, k].x^k = ( Sum {k=2..n+1} S[n, k-1].x^k ) - ( Sum {k=1..n} nS[n, k].x^k )
Sum{k=2..n} S[n+1, k].x^k + S[n+1, n+1].x^(n+1) + S[n+1, 1].x = ( Sum {k=2..n} (S[n, k-1] - nS[n, k]).x^k ) + S[n, n].x^(n+1) - nS[n, 1].x

portanto:
S[n+1, 1] = -nS[n, 1]
S[n+1, k] = S[n, k-1] - nS[n, k] ... k=2, 3, ..., n
S[n+1, n+1] = S[n, n]

x=x... entao: S[1,1] = 1

x(x-1) = x^2 - x
S[2, 1] = - 1.S[1, 1] = -1 ... ok!
S[2, 2] = S[1, 1] = 1 ... ok!

x(x-1)(x-2) = x^3 - 3x + 2x
S[3, 1] = -2.S[2, 1] = -2.(-1) = 2 ... ok!
S[3, 2] = S[2, 1] - 2.S[2, 2] = -1 - 2.1 = -3 ... ok!
S[3, 3] = S[2, 2] = 1 ... ok!

x(x-1)(x-2)(x-3) = x^4 - 6x^3 + 11x^2 - 6x
S[4, 1] = -3.S[3, 1] = -3.2 = -6 .... ok!
S[4, 2] = S[3, 1] - 3.S[3, 2] = 2 - 3.(-3) = 11 ... ok!
S[4, 3] = S[3, 2] - 3.S[3, 3] = -3 - 3.1 = -6 ... ok!
S[4, 4] = S[3, 3] = 1 ... ok!

e assim por diante.. :)

abraços,
Salhab

On 10/27/07, Rodrigo Renji <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> wrote:

Tente encontrar uma formula para os coeficientes da potência que
aparecem na expansão de

x(x-1)(x-2). ... (x-n)

i.e
x=x
x(x-1)=x²-x

x(x-1)(x-2)=x³-3x+2x


x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4 -6x³+11x²-6x

etc...
(a fórmula existe, é uma recorrência de duas variáveis)

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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