[obm-l] Re: pequeno teorema sobre numeros de stirling parte 1

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

=soma[k=0,n][n,k]kg(k,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)=
aparece um termo k dentro do somatorio, se abrirmos o primeiro termo
do somatorio verificamos que ele é zero, então podemos escrever

=soma[k=1,n][n,k]kg(k,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)=

fazendo uma mudança de variavel no somatorio, subtraindo 1 dos limites
ficamos com
(apenas no primeiro somatorio)

=soma[k=0,n-1][n,k+1](k+1)g(k+1,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)=
abrindo o ultimo termo do segundo ficamos com

=soma[k=0,n-1][n,k+1](k+1)g(k+1,x)+soma[k=0,n-1][n,k]g(k+1,x)+[n,n]g(n+1,x)=
juntando agora os dois somatorios do meio em um mesmo por linearidade

=soma[k=0,n-1][n,k+1](k+1)g(k+1,x)+[n,k]g(k+1,x)+[n,n]g(n+1,x)=
colocando g(k+1,x) em evidencia

=soma[k=0,n-1][[n,k+1](k+1)+[n,k]]g(k+1,x)+[n,n]g(n+1,x)=
usando a definição de números de stirling para escrever

=soma[k=0,n-1][n+1,k+1]g(k+1,x)+[n,n]g(n+1,x)=

[n,n]=1=[n+1,n+1] pela definição de numeros de stirling, tomando uma
mudança de variavel no somatorio, somando +1 aos limites

=soma[k=1,n][n+1,k]g(k,x)+[n+1,n+1]g(n+1,x)=

juntando o termo [n+1,n+1]g(n+1,x)= ao somatorio

=soma[k=1,n+1][n+1,k]g(k,x)
lembrando que [n+1,0]=0 podemos escrever finalmente

=T^(n+1)g(x)=soma[k=0,n+1][n+1,k]g(k,x)
c.e.d



dois corolários
primeiro
toda potencia pode ser escrita como soma de potencias fatoriais

faça x=T
então
xg(k,x)=kg(k,x)+g(k+1,x) e g(0,x)=1
g(k,x) será a potencia fatorial x^n =T^n,

x^n=soma[k=0,n][n,k]g(k,x)


segundo
tome
g(x)=f(e^x)
e g(k,x)=e^(kx).f^(k)(e^x)
com o operador T como derivada, que vou simbolizar ela aplicada por
[g(x)]^(n), temos então

[f(e^x)]^(n)=soma[k=0,n][n,k]e^(kx).f^(k)(e^x)

f^(k)(e^x) é a k-esima derivada da função [nao sendo da composta
inteira, apenas da exterior]

só isso =x

Em 24/10/07, Rodrigo Renji<rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx> escreveu:
> Descobri esse pequeno teorema e quero compartilhar com o pessoal da
> lista, lá vai ele
>
> vou provar aqui um pequeno teorema que descobri esse dias que fala de
> numeros tem como corolario a correlação entre números de stirling e
> potencias fatoriais
>
>
> o somatório de f(k), com k variando de k=0 até k=n, eu vou escrever como
> soma[k=0,n]f(k).
>
>
> seja um operador T qualquer com as seguintes propriedades
> Tsoma[k=0,n](ck)f(k,x)=soma[k=0,n](ck)Tf(k,x)
> isto é, comuta com somatório (ck são números)
> e
>
> T[T^(n)g(x)=T^(n+1)g(x).
> com
> T^(0)g(x)=g(x), para qualquer n natural.
>
>
>
> e, seja uma função de duas variáveis g(k,x), definida pelo menos para
> k inteiro não negativo. tal que
>
> g(x)=g(0,x)
> e
>
> Tg(k,x)=kg(k,x)+g(k+1,x)
>
> agora definição para números de stirling
> são numeros que satisfazem a recorrencia
>
> [n,k]=k[n-1,k] + [n-1,k-1]
>
> se n>k e k>1
> [n,n]=1 para qualquer n natural
> [n,1]=1 para qualquer n natural
> e [n+1,0]=0 para qualquer n natural
>
> temos então o teorema
>
> T^(n)[g(x)]=soma[k=0,n][n,k]g(k,x).
>
> demonstração por indução sobre n
>
> para n=0 temos
>
> T^(0)[g(x)]=g(x)=soma[k=0,0].[0,k].g(k,x)=[0,0]g(0,x)=g(x)
> pelas definições do operador e da função g(k,x) e números de stirling
>
> hipotese da indução
> T^(n)[g(x)]=soma[k=0,n][n,k]g(k,x).
>
>
> vamos demonstrar agora para
> (n+1)
> T^(n+1)[g(x)]=soma[k=0,n+1][n+1,k]g(k,x).
> partindo da hipotese e aplicando o operador T nela
>
> T[T^(n)][g(x)]=T^(n+1)[g(x)]=Tsoma[k=0,n][n,k]g(k,x) =soma[k=0,n][n,k]Tg(k,x)
>
> pela definição do operador e suas propriedades, agora aplicando a
> definição do operador na função g(k,x) temos
> =soma[k=0,n][n,k][kg(k,x)+g(k+1,x)]=
> usando a linearidade do somatorio ficamos com
> =soma[k=0,n][n,k]kg(k,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)=
>
> continua
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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