[obm-l] pequeno teorema sobre numeros de stirling parte 1

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

Descobri esse pequeno teorema e quero compartilhar com o pessoal da
lista, lá vai ele

vou provar aqui um pequeno teorema que descobri esse dias que fala de
numeros tem como corolario a correlação entre números de stirling e
potencias fatoriais


o somatório de f(k), com k variando de k=0 até k=n, eu vou escrever como
soma[k=0,n]f(k).


seja um operador T qualquer com as seguintes propriedades
Tsoma[k=0,n](ck)f(k,x)=soma[k=0,n](ck)Tf(k,x)
isto é, comuta com somatório (ck são números)
e

T[T^(n)g(x)=T^(n+1)g(x).
com
T^(0)g(x)=g(x), para qualquer n natural.



e, seja uma função de duas variáveis g(k,x), definida pelo menos para
k inteiro não negativo. tal que

g(x)=g(0,x)
e

Tg(k,x)=kg(k,x)+g(k+1,x)

agora definição para números de stirling
são numeros que satisfazem a recorrencia

[n,k]=k[n-1,k] + [n-1,k-1]

se n>k e k>1
[n,n]=1 para qualquer n natural
[n,1]=1 para qualquer n natural
e [n+1,0]=0 para qualquer n natural

temos então o teorema

T^(n)[g(x)]=soma[k=0,n][n,k]g(k,x).

demonstração por indução sobre n

para n=0 temos

T^(0)[g(x)]=g(x)=soma[k=0,0].[0,k].g(k,x)=[0,0]g(0,x)=g(x)
pelas definições do operador e da função g(k,x) e números de stirling

hipotese da indução
T^(n)[g(x)]=soma[k=0,n][n,k]g(k,x).


vamos demonstrar agora para
(n+1)
T^(n+1)[g(x)]=soma[k=0,n+1][n+1,k]g(k,x).
partindo da hipotese e aplicando o operador T nela

T[T^(n)][g(x)]=T^(n+1)[g(x)]=Tsoma[k=0,n][n,k]g(k,x) =soma[k=0,n][n,k]Tg(k,x)

pela definição do operador e suas propriedades, agora aplicando a
definição do operador na função g(k,x) temos
=soma[k=0,n][n,k][kg(k,x)+g(k+1,x)]=
usando a linearidade do somatorio ficamos com
=soma[k=0,n][n,k]kg(k,x)+soma[k=0,n][n,k]g(k+1,x)=

continua

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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