Vivian,Tens razao, devia ter feito uma substituicao diferente. Nao estava com lapis e papel do lado. Agora arranjei um aqui e fiz. No seu resultado, nao sei se voce quis dizer arco-tangente ou arco-cotangente. A minha integral coincide com a sua se considerar o arco-cotangente e eu a derivei essa vez e esta correta agora.
Olha, quando voce ver potencias de x ao quadrado, por exemplo, x^2+4, 1-x^2, etc, tente construir um triangulo retangulo e coloque nos catetos por exemplo, no seu caso, o cateto oposto como a variavel sqrt(2), o cateto adjacente a variavel x, o angulo entre a hipotenusa e cateto adjancente voce chama de t, e a hipotenusa sera sqrt(x^2+2). Isso e o que chamei de substituicao trigonometrica. Nao foi magica como o nosso amigo anterior falou e nem arte, e um artificio matematico que todo professor de calculo ensina os estudantes a fazer.
Voltando ao problema, sin(t)=sqrt(2/x^2+2) (Faca o triangulo retangulo como eu disse). x=sqrt(2)cotg(t) (Confira no triangulo retangulo) => dx=-sqrt(2)cosec^2(t) 1/(x^2+2)^2 = sin^4(t)/4 Entao, I = int (sin^4(t)/4)*(-sqrt(2)cosec^2(t))dt I = -sqrt(2)*int(sin^2(t))/4 dt I = -(sqrt(2)/4) * int (1/2 - cos(2t)/2)dt I = -(sqrt(2)/8) * [t - sin(2t)/2] + C Lembre que sin(2t)=2*cost(2)*sin(t)=2*(sqrt(2/x^2+2)*(x/x^2+2); entao, I = -(1/4*sqrt(2))*[actg(x/sqrt(2)) - (sqrt(2).x)/(x^2+2)] + C I = x/(4*(x^2+2)) - (1/4*sqrt(2))*arccotg(x/sqrt(2)); Lembre-se que 1-sin^2(t)=cos(2t) => sin^2(t)=1/2-cos(2t)/2 Saudacoes, Leandro Los Angeles, CA.
From: "Vivian Heinrichs" <xjxjbo@xxxxxxxxx> Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx Subject: Re: [obm-l] Integral Date: Fri, 12 Oct 2007 21:28:42 -0300 Desculpe minha ignorância, mas o que é sqrt? Em um livro vi que a resposta da Integral I = dx/(x^2 + 2)^2 é igual a(x/4(x^2 + 2)) + 1/(4*2^1/2) * arctg (x/(2*1/2)) + C, sendo C a constante...Não cosigo chegar a esta resposta... e por minha ignorância não cosegui entender a resolução proposta... Se alguém coseguir me ajudar, agradeço... Muito Obrigada. Em 12/10/07, LEANDRO L RECOVA <leandrorecova@xxxxxxx> escreveu: > > Voce pode usar a seguinte substituicao trigonometrica: > > (1) sin(t)=sqrt(2)/(x^2+2) > > (2) x=sqrt(2).cotg(t) > > Entao, de (2) temos: > > dx=-sqrt(2)cosec^2(t) > > Substituindo na integral temos, > > I = int [ -sqrt(2)*csc^2(t)/(2/sin^2(t)]dt > > I = int [-sqrt(2)/2]dt >> I = [-sqrt(2)/2]*t + C, C e uma constante de integracao. Substituindo (1)> nessa equacao temos > > I = [-sqrt(2)/2]*arcsin(2/(x^2+2)) + C > > Saudacoes rubro-negras, > > Leandro > Los Angeles, CA. > > >From: "Vivian Heinrichs" <xjxjbo@xxxxxxxxx> > >Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx > >To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx > >Subject: [obm-l] Integral > >Date: Fri, 12 Oct 2007 13:30:33 -0300 > > > >Olá pessoal...> >Gostaria de saber se alguém sabe resolver a Integral : I = dx/(x^2 + 2)^2> , > >sendo que I é a Integral. > >Obrigada. > >> =========================================================================> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> =========================================================================>
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