Eu tenho um livro do Apostol. Ele segue a construcao usual em livros de analise.
Vamos admitir jah demosntrado que o conjunto N, dos inteiros nao negativos eh bem ordenado, isto eh, todo subconjunto limitado inferiormente tem um menor elemento. Isto implica que todo subconjunto limitado superiormente tenha um maior elemento.
Seja x >= 0 um real e sejam n =supremo {i em N | i <=x} e m = infimo {i em N | m > x}. Entao, n e m estao em N, m > x. e n <= x < m. Como m -1 < m, a definicao de m implica que m -1 <= x, o que, pela definicao de n, implica que m -1 <= n => m <= n +1. Temos, entao, que n <= x < n +1. Eh imediato que nenhum k de N maior que n +1, assim como nenhum k de N menor que n, satisfazem a k <= x < k+1. E como entre n e n+1 nao hah nenhum elemento de n, concluimos que n eh o unico elemento de N satisfazendo n <= x < n +1.
Para extendermos a conclusao ao conjunto dos inteiros Z, basta tomar -x, se x <0, e aplicar o que jah vimos.
Artur
Oi, Otavio e Salhab,
Meu Apostol, assim como muitos outros livros foram emprestados no passado e eu fiquei a ver navios... Mas acho importante algumas considerações sobre a demonstração do Salhab do exercícío do Apostol que você postou.
Embora não lembre como é feita a construção dos reais no Apostol, é importante registrar que certamente, em algum momento, deve ser mencionada a questão dos reais como corpo ordenado e, em algum outro momento, deve ser mencionada a completude dos reais. Possivelmente "adicionando" outro axioma aos reais: o do "supremo", por exemplo: todo conjunto limitado superiormente possui um supremo...
Por isto, a afirmativa do Marcelo
vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro..
deve ser vista como uma afirmativa que requer cuidados (pode até ser uma propriedade na construção do Apostol), pois usa indiretamente tal completude ou algo dela decorrente, como uma propriedade que alguns livros de calculo gostam de usar e que é chamada de propriedade de ordenação de Arquimedes: dado qualquer número real x existe um inteiro positivo n tal que n > x.
Apenas para registro, sua demonstração também usou (de forma digamos mascarada) indução, que dependendo do estágio da construção dos reais não deve ser considerado algo tão óbvio...
Ou seja, eu apenas quis assinalar que sua demonstração carrega algumas sutilezas ocultas que achei importante registrar. Com a palavra quem tem o Apostol... :-), para que possa me esclarecer em qual propriedade do Apostol se baseou a afirmação citada
vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro..
Abraços,
Nehab
Marcelo Salhab Brogliato escreveu:
Olá Otávio,
vc quer q prove que existe um, e somente um n inteiro, tal que: n <= x < n+1
este n nós chamamos de piso de x..
primeiro vamos provar que existe:
vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro.. assim:
x = a + w, onde a é inteiro e w é real e pertence ao intervalo [0, 1).
deste modo, temos que a <= x
w < 1 .... a+w < a+1 ... x < a+1...
assim: a <= x < a+1
suponha que existe um k inteiro, tal que: k <= x < k+1
multiplicando por -1, temos: -(k+1) < -x <= -k
somando, temos: n - (k+1) < 0 < (n+1) - k
isto é:
n - k < 1
n - k > -1
opa.. -1 < n - k < 1
como a operacao de subtracao eh fechada nos inteiros, temos que n - k
pertence aos inteiros.. e como o unico inteiro no intervalo (-1, 1) é
0, concluimos que: n - k = 0
logo: n = k
provamos que ele existe e é único...
abraços,
Salhab
On 9/22/07, Otávio Menezes <ommenezes@xxxxxxxxx> wrote:
(Página 28, exercício 4) Prove que para todo real x, existe um e apenas um
inteiro n tal que x é maior ou igual a n e menor que n+1.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================