|
Oi, Otavio e Salhab, Meu Apostol, assim como muitos outros livros foram emprestados no passado e eu fiquei a ver navios... Mas acho importante algumas considerações sobre a demonstração do Salhab do exercícío do Apostol que você postou. Embora não lembre como é feita a construção dos reais no Apostol, é importante registrar que certamente, em algum momento, deve ser mencionada a questão dos reais como corpo ordenado e, em algum outro momento, deve ser mencionada a completude dos reais. Possivelmente "adicionando" outro axioma aos reais: o do "supremo", por exemplo: todo conjunto limitado superiormente possui um supremo... Por isto, a afirmativa do Marcelo vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro..deve ser vista como uma afirmativa que requer cuidados (pode até ser uma propriedade na construção do Apostol), pois usa indiretamente tal completude ou algo dela decorrente, como uma propriedade que alguns livros de calculo gostam de usar e que é chamada de propriedade de ordenação de Arquimedes: dado qualquer número real x existe um inteiro positivo n tal que n > x. Apenas para registro, sua demonstração também usou (de forma digamos mascarada) indução, que dependendo do estágio da construção dos reais não deve ser considerado algo tão óbvio... Ou seja, eu apenas quis assinalar que sua demonstração carrega algumas sutilezas ocultas que achei importante registrar. Com a palavra quem tem o Apostol... :-), para que possa me esclarecer em qual propriedade do Apostol se baseou a afirmação citada vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro..Abraços, Nehab Marcelo Salhab Brogliato escreveu: ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================Olá Otávio, vc quer q prove que existe um, e somente um n inteiro, tal que: n <= x < n+1 este n nós chamamos de piso de x.. primeiro vamos provar que existe: vamos escrever x como a soma de um inteiro e um não-inteiro.. assim: x = a + w, onde a é inteiro e w é real e pertence ao intervalo [0, 1). deste modo, temos que a <= x w < 1 .... a+w < a+1 ... x < a+1... assim: a <= x < a+1 suponha que existe um k inteiro, tal que: k <= x < k+1 multiplicando por -1, temos: -(k+1) < -x <= -k somando, temos: n - (k+1) < 0 < (n+1) - k isto é: n - k < 1 n - k > -1 opa.. -1 < n - k < 1 como a operacao de subtracao eh fechada nos inteiros, temos que n - k pertence aos inteiros.. e como o unico inteiro no intervalo (-1, 1) é 0, concluimos que: n - k = 0 logo: n = k provamos que ele existe e é único... abraços, Salhab On 9/22/07, Otávio Menezes <ommenezes@xxxxxxxxx> wrote: |