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Olá Seja a intersação de DE com AB o ponto F, e seja G pertencente a BD tal que BÂG = GÂD = DÂC = 20°. É fácil de ver que AG=AD, pois os ângulos AGD e ADG devem ser iguais a 80°. Note que os triângulos FEB e FDA são semelhantes (caso AAA), logo BF/FA=BE/AD <=> BF/FA=AB/AD, (pois AB=BE), além disso como AG é bissetriz interna de BÂD, então BG/GD=AB/AD, portanto BG/GD=BF/FA, o que implica pelo teorema de tales que GF é paralelo a AD, logo também terá que ser paralelo a BE. Note que destes paralelismos decorre também que AF=GF. Vamos usar a seguinte notação: BE=AB=BC=AC= a ; AG=AD=b ; BG=CD=c ; GD=d. Seja O o ponto de interseção de AG com DF. podemos expressar 'c' e 'd' como funções de a e b resolvendo o seguinte sistema: 2c+d = a (pois BG+GD+DC=BC, lado do triângulo) c/d = a/b (pois como já dissemos AG é bissetriz interna do ângulo BÂD, e então BG/GD = AB/AD Resulta que c = a²/(2a+b), e d = ab/(2a+b) De posse destas relações voltamos nossas atenções para os triângulos OFG e ODA, que também deverão ser semelhantes pelo caso AAA (resultante dos paralelismos já evidenciados anteriormente), e então teremos que: GO/OA=GF/AD <=> GO/(AG-GO)=GF/AD <=> GO = (AG.GF)/(AD+GF). Pela semelhança entre os triângulos DGF e DBE, obtemos uma relação para GF útil a ser utilizada na última equação obtida: GF/BE=GD/BD <=> GF = (BE.GD)/(BG+GD) <=> GF = a²b/(a²+ab) E portanto GO = ab/(2a+b) = d , o que nos leva a concluir que o triângulo OGD é isósceles e como OGD = 80º então GOD = GDO = 50º. E então o ângulo desejado será ADE = GDA-GDO = 80-50 = 30º. Diante das soluções dos outros companheiros da lista (que conseguiram resolver com muito menos linhas que isso), esta solução não merece muita atenção, mas de qualquer forma talvez possa servir para os que tiveram paciência para ler. Até logo!
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