[obm-l] Integral Gaussiana

["Henrique Rennó" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

Olá!

Encontrei em um livro uma integral que o autor chama de integral Gaussiana. Não achei a solução muito clara. Alguém poderia me explicar com ela foi obtida?

Mostrar que:

int_-inf_inf {e^[(-a/2)*x^2]} dx = [(2*pi)/a]^(1/2)

A solução do livro é:

Primeiro ele chama a integral de I e eleva ao quadrado ambos os lados:

I^2 = int_-inf_inf int_-inf_inf {e^[(-a/2)*x^2 + (-a/2)*y^2] dx.dy
I^2 = int_-inf_inf int_0_2*pi {e^[(-a/2)*r^2]} 
r.dr.dtheta
I^2 = pi * int_0_inf {e^[(-a/2)*u]} du
I^2 = (2*pi)/a
I = [(2*pi)/a]^(1/2)

Ele considera x = r.cos(theta), y = r.sen(theta) e u = r^2

Em livros de cálculo, qual seria a parte de integrais que eu deveria estudar para obter o conhecimento utilizado nessa solução?

Obrigado!

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Henrique