Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Demetrio Freitas wrote:

> O Leandro tem muita raz�o quando diz que � necess�rio
> cuidado neste tipo de racioc�nio. Conceitos familiares
> de c�lculo e an�lise parecem ter utilidade restrita em
> quest�es de transcend�ncia ou mesmo irracionalidade.
>
> Eu n�o conhe�o a prova de Lindemann. Na verdade, eu a
> vi uma vez e quase tudo o que me lembro � que n�o a
> entendi...
>
> --- ralonso <ralonso@trieste.fapesp.br> escreveu:
> >
> >    Como voc� mesmo disse:
> >
> > "Mas x = 0 � solu��o de sen(x) = 0.
> > Posso expressar sen(x) igualmente bem em s�rie de
> > pot�ncia, e
> > no entanto 0 est� longe de ser transcendente.
> >
> > Isto mostra que qualquer n�mero a princ�pio pode ser
> > solu��o de
> > uma equa��o que envolva uma s�rie, ou a expans�o em
> > s�ries
> > de uma fun��o."
> >
>
> Sem d�vida. Mas note que um n�mero ser raiz de um
> polin�mio de grau N n�o � suficiente para dizer que
> tal n�mero seja alg�brico de grau N. � necess�rio
> tamb�m que o polin�mio seja irredut�vel. Logo, o fato
> de fun��es anal�ticas (ou suas expans�es em s�ries de
> pot�ncias) possu�rem valores racionais ou alg�bricos
> em alguns pontos n�o serve, por si s�, como
> contra-exemplo para a id�ia inicial.

>

...
(ver texto da mensagem anterior).
...


>

> (3) - Ok, ent�o os r[n] s�o alg�bricos de grau
> crescente. Por�m, n�o convergem para um n�mero
> transcendente. Convergem para r = (2*k+1 +
> sqrt(4*k+1))/2, que � claramente alg�brico....
>

Ol� Dem�trio!
Linda contra-prova.  Agora se voc� notar bem, seu exemplo foi
construir um polin�mio de grau tendendo ao infinito
sempre atendendo ao crit�rio de irredutibilidade
Eiseinstein, por�m constru�do de uma forma um
tanto quanto artificial (usando uma sequ�ncia iterativa de polin�mios
para defin�-lo).

  Vc consegui assim uma sequ�ncia de alg�bricos que
n�o tende a um transcendente.  Tende para um alg�brico.

    Agora atente para o detalhe: A sequ�ncia de solu��es (ra�zes) deste polin�mio
sempre pode ser definida por n�meros escritos em termos de radicais!
  Para polin�mios de grau >= 5 essas solu��es nem sempre podem ser definidas
em termos de radicais.   Ent�o vem a minha id�ia de associar grupos
a essas constru��es.  A pergunta que fica no ar � quando uma
sequ�ncia de n�meros alg�bricos tende a um n�mero transcendente.
   A transcend�ncia, ent�o, precisa ser melhor categorizada matem�ticamente
e isso exige um rigor.  A teoria dos grupos est� a� para nos ajudar.
   Eu confesso que tamb�m n�o entendi completamente
a prova de Lindemann.  Mas ela pode oferecer uma resposta a essa profunda
pergunta.

[]s
Ronaldo.





>
> []�s Dem�trio
>
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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