Re: [obm-l] f(f(x)) = x^2 - 1996

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

É um problema difícil mesmo.
 
    Começamos observando que o que está
tornando o problema impossível,
neste caso parece ser a presença de x^2 do lado esquerdo da
igualdade f(f(x)) = x^2 - 1996.   O 1996 parece ser um "mero"
detalhe.

    Note que se fosse  f(f(x)) = x vc neste caso poderia achar infinitas funções que possuíssem
pelo menos um ponto com  essa propriedade, isto é, com f(f(x*)) = x *.  Neste caso x*
seria um ponto periódico de período 2.  Para funções do tipo f(x) = u x (1-x) por exemplo,
vc pode calcular o valor de u para que exista x* tal que f(f(x*)) = x*.
  Queremos uma função que tenha infinitos pontos desse tipo.
  Ora, obviamente f(x) = x tem essa propriedade, pois f o f (x)= x para todo x.    E se fosse f(f(x)) = x^2 ?
  Será que conseguimos repetir um  raciocínio parecido com o acima para provar que tal função não existe?
 

Artur Costa Steiner wrote:

> Boa
> tardeHá
> alguns anos circulou aqui o seguinte problema, aliás nada fácil:Mostre
> que não existe nenhuma função f:R --> R tal que sua
> composta f o f seja dada por f(f(x)) = x^2 - 1996. Algúem sabe onde
> está a sua solução ou sabe resolvê-lo. Eu acho
> que a solucoa tem a ver com um tipo de ponto , que nao eh ponto fixo, mas
> apresenta uma propriedade de oscilar , nao me lembro nao.ObrigadoArtur