Re: [obm-l] Subespa�os vetoriais

["Bruno Fran�a dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Vamos fazer a terceira. Mostrar que um espa�o � soma direta de dois outros equivale a mostrar que ele � soma dos dois outros e que a interse��o destes dois outros � o subespa�o nulo.

 

Temos: U + V = {u + v; u em U, v em V} = { (x,y,0) + (0,0,z) } = { (x,y,z) } = R^3. Assim, R^3 � soma de U e V.

Agora tome um elemento (x, y, z) na interse��o de U e V. Como ele est� em U, temos que z = 0, e como ele est� em V temos que x = y = 0. Assim qualquer elemento da interse��o tem x = y = z = 0, logo a interse��o s� contem o 0 do R^3.

Assim provamos que R^3 � soma direta.

 

Geometricamente, U � o plano (x,y) e V � o eixo z.

 

Decompondo um vetor (x, y, z) de R^3 como soma de vetores em U e V temos: (x, y, z) = (0, 0, z) + (x, y, 0), onde a primeira parcela est� em U e a segunda em V.

 

 

Para a segunda quest�o, podemos lembrar que tal espa�o de polin�mios tem dimensao 3 e assim s� nos resta mostrar que o conjunto que vc deu � l.i. Mas aten��o: dado um conjunto com um n�mero finito de elementos, mostrar que cada 2 elementos s�o l.i. n�o implica que o conjunto todo seja l.i.!!! Tente mostrar a independencia linear desse conjunto.

 

 

Abra�o

Bruno

 

2007/7/30, rcggomes <rcggomes@terra.com.br>:

 

 

Ola pessoal,

 

Alguem pode me ajudar nessas questoes:

 

=> Determine se os conjuntos abaixo sao subespacos vetoriais:

 -  W1 = { (x; y) E IR^2 : x >= y >= 0}

 -  

W2 = { (x; y; z ) E IR^3 : 2x + y - z = 0}

=>Verifique que o conjunto {1; (1 - x); (1 - x)^2} forma uma base para o espaco vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.

=> Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais U = {(x; y; z) E IR^3 : z = 0} e {(x; y; z ) E IR^3 : x = y = 0}, com ilustra��o geometrica os subespacos U e V , e mostre a decomposicao de um vetor qualquer no IR^3 como soma dos seus respectivos vetores de U e V .

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Bruno Fran�a dos Reis
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e^(pi*i)+1=0