Re: [obm-l] Subespaços vetoriais

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Vamos fazer a terceira. Mostrar que um espaço é soma direta de dois outros equivale a mostrar que ele é soma dos dois outros e que a interseção destes dois outros é o subespaço nulo.

 

Temos: U + V = {u + v; u em U, v em V} = { (x,y,0) + (0,0,z) } = { (x,y,z) } = R^3. Assim, R^3 é soma de U e V.

Agora tome um elemento (x, y, z) na interseção de U e V. Como ele está em U, temos que z = 0, e como ele está em V temos que x = y = 0. Assim qualquer elemento da interseção tem x = y = z = 0, logo a interseção só contem o 0 do R^3.

Assim provamos que R^3 é soma direta.

 

Geometricamente, U é o plano (x,y) e V é o eixo z.

 

Decompondo um vetor (x, y, z) de R^3 como soma de vetores em U e V temos: (x, y, z) = (0, 0, z) + (x, y, 0), onde a primeira parcela está em U e a segunda em V.

 

 

Para a segunda questão, podemos lembrar que tal espaço de polinômios tem dimensao 3 e assim só nos resta mostrar que o conjunto que vc deu é l.i. Mas atenção: dado um conjunto com um número finito de elementos, mostrar que cada 2 elementos são l.i. não implica que o conjunto todo seja l.i.!!! Tente mostrar a independencia linear desse conjunto.

 

 

Abraço

Bruno

 

2007/7/30, rcggomes <rcggomes@terra.com.br>:

 

 

Ola pessoal,

 

Alguem pode me ajudar nessas questoes:

 

=> Determine se os conjuntos abaixo sao subespacos vetoriais:

 -  W1 = { (x; y) E IR^2 : x >= y >= 0}

 -  

W2 = { (x; y; z ) E IR^3 : 2x + y - z = 0}

=>Verifique que o conjunto {1; (1 - x); (1 - x)^2} forma uma base para o espaco vetorial dos polin^omios de grau maximo igual a dois.

=> Mostre que IR^3 e a soma direta dos subespacos vetoriais U = {(x; y; z) E IR^3 : z = 0} e {(x; y; z ) E IR^3 : x = y = 0}, com ilustração geometrica os subespacos U e V , e mostre a decomposicao de um vetor qualquer no IR^3 como soma dos seus respectivos vetores de U e V .

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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0