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[SPAM] Res: [obm-l] iberoamericana



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Content-Transfer-Encoding: quoted-printable

Boa Marcelo. At=E9 tinha pensado nessa reta perpendicular OA passando por x=
 mas nem me liguei q poderia fazer as contas e ver que PO e PA eram constan=
tes.=0AValeu.=0A=0A=0A----- Mensagem original ----=0ADe: Marcelo Salhab Bro=
gliato <msbrogli@gmail.com>=0APara: obm-l@mat.puc-rio.br=0AEnviadas: Quarta=
-feira, 11 de Julho de 2007 3:15:51=0AAssunto: Re: [obm-l] iberoamericana=
=0A=0A=0AOl=E1 novamente Klaus,=0Aacho que consegui uma solucao por geometr=
ia.. peco que me corrijam=0Acaso esteja errada...:)=0A=0ASejam O, A, M os p=
ontos conforme o enunciado. Seja X o centro da=0Acircunferencia pedida.=0AO=
 ponto X =E9 encontrado pelo encontro das mediatrizes (hehe) dos=0Asegmento=
s MN e MA.=0A1) Trace a reta OA, OM, OX, XA.=0A2) Trace a reta que passa po=
r X e =E9 perpendicular a OA.=0A3) Chame o ponto da interseccao de P.=0A=0A=
Vamos chamar OP =3D b, PA =3D a, OA =3D k, XP =3D d, XA =3D XM =3D R.=0AO t=
riangulo XPA =E9 retangulo em P, logo: R^2 =3D a^2 + d^2 (i)=0AO triangulo =
XPO =E9 retangulo em P, logo: c^2 =3D d^2 + b^2 (ii)=0AO triangulo XOM =E9 =
retangulo em O, logo: R^2 =3D c^2 + r^2 (iii)=0ASubstituindo (ii) em (iii),=
 temos: R^2 =3D d^2 + b^2 + r^2 (iv)=0AFazendo (iv) - (i), temos: a^2 =3D b=
^2 + r^2.=0AMas, sabemos que a + b =3D k.=0AAssim: (k-b)^2 =3D b^2 + r^2 ..=
.. k^2 - 2kb + b^2 =3D b^2 + r^2 ... 2kb =3D k^2 - r^2=0Ab =3D (k^2 - r^2)/=
(2k)=0Aveja que k =E9 o tamanho do segmento OA (constante, pois A =E9 fixo)=
.=0ADeste modo, o comprimento "b" =E9 constante. Consequentemente, "a" =E9 =
constante.=0AIsto =E9: Para qualquer ponto M na circunferencia de raio "r",=
 a reta=0Aque passa pelo centro da circunferencia pedida (que passa por M, =
N e=0AA) e =E9 perpendicular a reta OA, divide o segmento OA em 2 segmentos=
=0Aconstantes (isto =E9, nao variam com a escolha de M).=0ADeste modo, X s=
=F3 pode se situar nesta reta (para todo valor de M).=0AAssim, o lugar geom=
etrico =E9 uma reta (que esta determinada).=0A=0AUma outra argumentacao ser=
ia: existe uma unica reta que divide o=0Asegmento OA em "b" e "a" e =E9 per=
pendicular ao segmento. Quando ligamos=0AX perpendicularmente ao segmento O=
A, ele divide o segmento exatamente=0Aem "b" e "a" para qualquer posicao de=
 M.=0ADeste modo, X sempre pertence a esta reta.=0A=0AAcho que a explicacao=
 nao ficou muito clara.. qualquer coisa mande=0Aoutra mensagem.=0A=0Aabraco=
s,=0ASalhab=0A=0A=0A=0A=0AOn 7/11/07, Marcelo Salhab Brogliato <msbrogli@gm=
ail.com> wrote:=0A> Ol=E1 Klaus,=0A> ja dei uma pensada mas ainda nao conse=
gui achar uma solucao..=0A> se eu conseguir pode deixar que eu mando..=0A> =
tem mta gente boa de geometria aqui na lista.. ja ja mandam a solucao :)=0A=
>=0A> abracos,=0A> Salhab=0A>=0A>=0A> On 7/10/07, Klaus Ferraz <klausferraz=
@yahoo.com.br> wrote:=0A> >=0A> > Ola Marcelo,=0A> >                      s=
er=E1 q vc num consegue algum modo de fazer usando=0A> > geometria sint=E9t=
ica?=0A> > vlw.=0A> >=0A> >=0A> > ----- Mensagem original ----=0A> > De: Ma=
rcelo Salhab Brogliato <msbrogli@gmail.com>=0A> > Para: obm-l@mat.puc-rio.b=
r=0A> > Enviadas: Ter=E7a-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48=0A> > Assunto:=
 Re: [obm-l] iberoamericana=0A> >=0A> >=0A> > Ol=E1,=0A> > pensei em uma ab=
ordagem usando vetores..=0A> > vamos dizer que nossa circunferencia esta na=
 origem.. e conhecemos os=0A> > vetores M e A..=0A> > como sabemos, o centr=
o da circunferencia que passa por M, N e A =E9 o=0A> > encontro das mediana=
s dos segmentos de reta MN e MA..=0A> > M, N e A sao vetores no plano XY (i=
sto =E9, nao possuem componente em Z)..=0A> > x =3D produto vetorial=0A> > =
. =3D produto escalar=0A> >=0A> > V1 =3D (M-A) x k .. este =E9 o vetor dire=
tor da mediana de MA=0A> > (A+M)/2.. este =E9 um ponto da mediana de MA...=
=0A> > portanto, esta reta j=E1 esta determinada..=0A> >=0A> > V2 =3D M x k=
 ... este =E9 o vetor diretor da mediana de MN=0A> > 0.. este =E9 um ponto =
da demana de MN=0A> > portanto, esta reta tambem j=E1 esta determinada..=0A=
> >=0A> > temos que encontrar X, tal que:=0A> > X =3D (A+M)/2 + s*V1=0A> > =
X =3D t*V2=0A> >=0A> > X =E9 o centro da circunferencia pedida..=0A> > (A+M=
)/2 + s*[(M-A)xk] =3D t*[Mxk]=0A> > fazendo o produto escalar por M, temos:=
=0A> > [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] =3D t*[(Mxk).M]=0A> > [A.M + M.M=
]/2 - s*[(Axk).M] =3D 0=0A> > s =3D [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}=0A> >=0A> > a=
ssim: X =3D (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..=0A> > agora, temos q=
ue A =3D (xa, ya) ; M =3D (xm, ym) ... substituir..=0A> >=0A> > vou fazer a=
ki mais tarde... dai eu mando=0A> >=0A> > abracos,=0A> > Salhab=0A> >=0A> >=
=0A> > On 7/9/07, Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br> wrote:=0A> > >=0A=
> > > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma=0A> > > circunfer=EAn=
cia de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M=0A> > um=0A> =
> > ponto da circunfer=EAncia e N o ponto diametralmente oposto a M. Determ=
inar=0A> > o=0A> > > lugar geom=E9trico dos centros das  circunfer=EAncias =
que passam por A, M e N=0A> > > quando M varia.=0A> > >=0A> > > ps. Eu tenh=
o quase que certeza que =E9 uma reta. Tentei analiticamente,=0A> > por=E9m=
=0A> > > deu muitas contas e acabou num dando em nada.=0A> > > Flickr agora=
 em portugu=EAs. Voc=EA cria, todo mundo v=EA. Saiba mais.=0A> >=0A> > =3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=0A> > In=
stru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em=0A> > ht=
tp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=0A> > =3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=0A> >=0A> >=0A> >  ____=
____________________________=0A> > Novo Yahoo! Cad=EA? - Experimente uma no=
va busca.=0A>=0A=0A=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=0AInstru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar=
 a lista em=0Ahttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=0A=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=0A=0A=0A   =
    =0A____________________________________________________________________=
________________=0ANovo Yahoo! Cad=EA? - Experimente uma nova busca.=0Ahttp=
://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso 
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ad><body><div style=3D"font-family:times new roman, new york, times, serif;=
font-size:12pt"><DIV style=3D"FONT-SIZE: 12pt; FONT-FAMILY: times new roman=
, new york, times, serif">Boa Marcelo. At=E9 tinha pensado nessa reta perpe=
ndicular OA passando por x mas nem me liguei q poderia fazer as contas e ve=
r que PO e PA eram constantes.</DIV>=0A<DIV style=3D"FONT-SIZE: 12pt; FONT-=
FAMILY: times new roman, new york, times, serif">Valeu.<BR><BR></DIV>=0A<DI=
V style=3D"FONT-SIZE: 12pt; FONT-FAMILY: times new roman, new york, times, =
serif">----- Mensagem original ----<BR>De: Marcelo Salhab Brogliato &lt;msb=
rogli@gmail.com&gt;<BR>Para: obm-l@mat.puc-rio.br<BR>Enviadas: Quarta-feira=
, 11 de Julho de 2007 3:15:51<BR>Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana<BR><BR=
>=0A<DIV>Ol=E1 novamente Klaus,<BR>acho que consegui uma solucao por geomet=
ria.. peco que me corrijam<BR>caso esteja errada...:)<BR><BR>Sejam O, A, M =
os pontos conforme o enunciado. Seja X o centro da<BR>circunferencia pedida=
.<BR>O ponto X =E9 encontrado pelo encontro das mediatrizes (hehe) dos<BR>s=
egmentos MN e MA.<BR>1) Trace a reta OA, OM, OX, XA.<BR>2) Trace a reta que=
 passa por X e =E9 perpendicular a OA.<BR>3) Chame o ponto da interseccao d=
e P.<BR><BR>Vamos chamar OP =3D b, PA =3D a, OA =3D k, XP =3D d, XA =3D XM =
=3D R.<BR>O triangulo XPA =E9 retangulo em P, logo: R^2 =3D a^2 + d^2 (i)<B=
R>O triangulo XPO =E9 retangulo em P, logo: c^2 =3D d^2 + b^2 (ii)<BR>O tri=
angulo XOM =E9 retangulo em O, logo: R^2 =3D c^2 + r^2 (iii)<BR>Substituind=
o (ii) em (iii), temos: R^2 =3D d^2 + b^2 + r^2 (iv)<BR>Fazendo (iv) - (i),=
 temos: a^2 =3D b^2 + r^2.<BR>Mas, sabemos que a + b =3D k.<BR>Assim: (k-b)=
^2 =3D b^2 + r^2 .... k^2 - 2kb + b^2 =3D b^2 + r^2 ... 2kb =3D k^2 - r^2<B=
R>b =3D (k^2 - r^2)/(2k)<BR>veja que k =E9 o tamanho do
 segmento OA (constante, pois A =E9 fixo).<BR>Deste modo, o comprimento "b"=
 =E9 constante. Consequentemente, "a" =E9 constante.<BR>Isto =E9: Para qual=
quer ponto M na circunferencia de raio "r", a reta<BR>que passa pelo centro=
 da circunferencia pedida (que passa por M, N e<BR>A) e =E9 perpendicular a=
 reta OA, divide o segmento OA em 2 segmentos<BR>constantes (isto =E9, nao =
variam com a escolha de M).<BR>Deste modo, X s=F3 pode se situar nesta reta=
 (para todo valor de M).<BR>Assim, o lugar geometrico =E9 uma reta (que est=
a determinada).<BR><BR>Uma outra argumentacao seria: existe uma unica reta =
que divide o<BR>segmento OA em "b" e "a" e =E9 perpendicular ao segmento. Q=
uando ligamos<BR>X perpendicularmente ao segmento OA, ele divide o segmento=
 exatamente<BR>em "b" e "a" para qualquer posicao de M.<BR>Deste modo, X se=
mpre pertence a esta reta.<BR><BR>Acho que a explicacao nao ficou muito cla=
ra.. qualquer coisa mande<BR>outra mensagem.<BR><BR>abracos,<BR>Salhab<BR><=
BR><BR><BR><BR>On 7/11/07,
 Marcelo Salhab Brogliato &lt;msbrogli@gmail.com&gt; wrote:<BR>&gt; Ol=E1 K=
laus,<BR>&gt; ja dei uma pensada mas ainda nao consegui achar uma solucao..=
<BR>&gt; se eu conseguir pode deixar que eu mando..<BR>&gt; tem mta gente b=
oa de geometria aqui na lista.. ja ja mandam a solucao :)<BR>&gt;<BR>&gt; a=
bracos,<BR>&gt; Salhab<BR>&gt;<BR>&gt;<BR>&gt; On 7/10/07, Klaus Ferraz &lt=
;klausferraz@yahoo.com.br&gt; wrote:<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; Ola Marcelo,=
<BR>&gt; &gt;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&n=
bsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;ser=
=E1 q vc num consegue algum modo de fazer usando<BR>&gt; &gt; geometria sin=
t=E9tica?<BR>&gt; &gt; vlw.<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; ----- Me=
nsagem original ----<BR>&gt; &gt; De: Marcelo Salhab Brogliato &lt;msbrogli=
@gmail.com&gt;<BR>&gt; &gt; Para: obm-l@mat.puc-rio.br<BR>&gt; &gt; Enviada=
s: Ter=E7a-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48<BR>&gt; &gt; Assunto: Re: [ob=
m-l]
 iberoamericana<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; Ol=E1,<BR>&gt; &gt; =
pensei em uma abordagem usando vetores..<BR>&gt; &gt; vamos dizer que nossa=
 circunferencia esta na origem.. e conhecemos os<BR>&gt; &gt; vetores M e A=
..<BR>&gt; &gt; como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N=
 e A =E9 o<BR>&gt; &gt; encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA=
..<BR>&gt; &gt; M, N e A sao vetores no plano XY (isto =E9, nao possuem com=
ponente em Z)..<BR>&gt; &gt; x =3D produto vetorial<BR>&gt; &gt; . =3D prod=
uto escalar<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; V1 =3D (M-A) x k .. este =E9 o vetor =
diretor da mediana de MA<BR>&gt; &gt; (A+M)/2.. este =E9 um ponto da median=
a de MA...<BR>&gt; &gt; portanto, esta reta j=E1 esta determinada..<BR>&gt;=
 &gt;<BR>&gt; &gt; V2 =3D M x k ... este =E9 o vetor diretor da mediana de =
MN<BR>&gt; &gt; 0.. este =E9 um ponto da demana de MN<BR>&gt; &gt; portanto=
, esta reta tambem j=E1 esta determinada..<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; temos =
que encontrar X, tal que:<BR>&gt; &gt;
 X =3D (A+M)/2 + s*V1<BR>&gt; &gt; X =3D t*V2<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; X =
=E9 o centro da circunferencia pedida..<BR>&gt; &gt; (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] =
=3D t*[Mxk]<BR>&gt; &gt; fazendo o produto escalar por M, temos:<BR>&gt; &g=
t; [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] =3D t*[(Mxk).M]<BR>&gt; &gt; [A.M + =
M.M]/2 - s*[(Axk).M] =3D 0<BR>&gt; &gt; s =3D [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}<BR>=
&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; assim: X =3D (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acim=
a..<BR>&gt; &gt; agora, temos que A =3D (xa, ya) ; M =3D (xm, ym) ... subst=
ituir..<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; vou fazer aki mais tarde... dai eu mando<=
BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; abracos,<BR>&gt; &gt; Salhab<BR>&gt; &gt;<BR>&gt;=
 &gt;<BR>&gt; &gt; On 7/9/07, Klaus Ferraz &lt;klausferraz@yahoo.com.br&gt;=
 wrote:<BR>&gt; &gt; &gt;<BR>&gt; &gt; &gt; (Iberoamericana-2004)-Considera=
-se no plano uma<BR>&gt; &gt; &gt; circunfer=EAncia de centro O e raio r, e=
 um ponto A exterior a ela. Seja M<BR>&gt; &gt; um<BR>&gt; &gt; &gt; ponto =
da circunfer=EAncia e N o ponto
 diametralmente oposto a M. Determinar<BR>&gt; &gt; o<BR>&gt; &gt; &gt; lug=
ar geom=E9trico dos centros das&nbsp;&nbsp;circunfer=EAncias que passam por=
 A, M e N<BR>&gt; &gt; &gt; quando M varia.<BR>&gt; &gt; &gt;<BR>&gt; &gt; =
&gt; ps. Eu tenho quase que certeza que =E9 uma reta. Tentei analiticamente=
,<BR>&gt; &gt; por=E9m<BR>&gt; &gt; &gt; deu muitas contas e acabou num dan=
do em nada.<BR>&gt; &gt; &gt; Flickr agora em portugu=EAs. Voc=EA cria, tod=
o mundo v=EA. Saiba mais.<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt; =3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D<BR>&gt; &gt; Instru=E7=F5e=
s para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em<BR>&gt; &gt; <A hre=
f=3D"http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html" target=3D_blank>h=
ttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html</A><BR>&gt; &gt; =3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D<BR>&gt; &gt=
;<BR>&gt; &gt;<BR>&gt; &gt;&nbsp;&nbsp;________________________________<BR>=
&gt; &gt; Novo Yahoo! Cad=EA? -
 Experimente uma nova busca.<BR>&gt;<BR><BR>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
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=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D<BR>Instru=E7=F5es para entrar na li=
sta, sair da lista e usar a lista em<BR><A href=3D"http://www.mat.puc-rio.b=
r/~nicolau/olimp/obm-l.html" target=3D_blank>http://www.mat.puc-rio.br/~nic=
olau/olimp/obm-l.html</A><BR>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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