Re: [obm-l] Duvida - COMPLEXOS

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá,

vamos ordenar z1, z2, ..., zn pelos seus módulos.. sendo z1 o menor e
zn o maior..
|z1^n| <= |z1z2...zn| <= |zn^n|

vamos encontrar z, tal que: z^n = (z1)(z2)...(zn)
para isso, vamos dizer que: |z| = |z1z2..zn|^(1/n) e arg(z) = arg(z1z2...zn)/n
logo: z^n = (z1)(z2)...(zn)
agora, temos que mostrar que z pertence a D.

|z1|^n <= |z|^n <= |zn|^n, entao, ja sabemos que: |z1| <= |z| <= |zn|

seja M = max{argz1, argz2, ..., argzn} e m = min{argz1, argz2, ..., argzn}
n*m <= arg(z1z2..zn) <= n*M
n*m <= arg(z^n) <= n*M
entao: m <= arg(z) <= M

vamos dizer que D = { z tq |z-z0| <= r }...

sabemos que:
|z1| <= |z| <= |zn|
m <= arg(z) <= M

bom.. fiquei tentando mostrar que z esta em D.. mas ainda nao consegui...
mandei o q fiz pq as vezes alguem pode continuar

abracos,
Salhab




On 7/4/07, Joÿffffe3o Silva <d79i3mn8@yahoo.com.br> wrote:
> (Romenia) Seja D um disco fechado no plano complexo. Prove que para todo
> inteiro positivo n e para todos complexos z1, z2, ..., zn que pertencem a D,
> existe um z em D tq: z^n = (z1).(z2)...(zn).
>
> - obs: Estou enviando este problema novamente pois nao apareceu nenhuma
> solução correta. Note que no enunciado há a possibilidade de 0 não pertencer
> ao disco. Sendo assim, não se pode afirmar que o conjunto D é
> D = {r*e^(i*theta) ; 0 <= r <= R, 0 <= theta < 2pi}, pois pode ser que D não
> tenha centro na origem.
>
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>
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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