Re: [obm-l] Espacos compactos e funcoes continuas

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Artur Costa Steiner wrote:

> Ainda nao consegui encontra uma prova para este teorema, parece interessante:
>
> Seja (X, T) um espaco de Hausdorff compacto (para facilitar, podemos ver X como um espaco metrico) e seja f uma funcao continua de X em X.  Se f(X)for um subconjunto proprio de X, existe entao um subconjunto invariante e proprio de X. Dizemos que um subconjunto A de X eh invariante se f(A) = A.
>

Olá Arthur:

Esse teorema é muito usado em sistemas dinâmicos.
Um exemplo de aplicação:

Seja f(x) = 4x(1-x) que é o mapa logístico.
Podemos então tomar A = [0,1/2] que é um subconjunto próprio de X

Seja então  A= C = [0,1/2]
faça  C_1 = f^(-1) (C) = [0,1/4] U  [3/4,1] para um determinado valor de u
faça  C_2 = f^(-1) (C_1)
faça  C_3 = f^(-1) (C_2)
...
agora faça f^(-1) (C_n) inter ... inter f^(-1)(C_1) inter f^(-1) (C) com n -> oo

O conjunto assim obtido é um conjunto compacto.
O leitor astuto perceberá que este é o conjunto de Cantor.
E ele satisfaz as condições do teorema: é invariante por f e também próprio.
Falta só provar o teorema :)

[]s
Ronaldo Luiz Alonso







>
> A afirmacao acima pode nao ser verdadeira se X nao for compacto.
>
> Na terminologia da Topologia, diz-se que (X, T), um conjunto X e uma topologia T em X, eh um espaco de Hausdorff se, para todos elementos distintos x1 e x2 de X, existirem vizinhanca disjuntas V1 de x1 e V2 de x2, isto eh, elementos distintos podem ser separados por vizinhancas. Todo espaco metrico eh de Hausdforff.
>
> Artur
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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