Re:[obm-l] Isometria

[rbdantas@xxxxxxxxxxxxxx]

>

Ola Claudio.
 Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto
 B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma
sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia
ainda esta em B.

   Abs.

 Rivaldo.


Tem razao. Mancada minha...
>
> O problema eh provar que:
> T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
> onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}
>
> Aqui vai uma nova tentativa:
>
> Seja T(0) = a.
> Seja b um ponto qualquer de B.
> O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
> Eh claro que b tambem pertence a B.
> Entao:
> |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
> Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b|   (**)
> Alem disso,
> |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
> igualdade na desigualdade triangular,
> que associada a (*) e (**) implica que:
> T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.
>
> Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
> Nesse caso:
> |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
> a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.
>
> Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
> Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de comprimento
> 2 eh a origem.
> Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah ser o
> centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
> Conclusao: a = 0.
>
> Acho que agora foi...
>
> []s,
> Claudio.
>
> ---------- Cabeçalho original -----------
>
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia:
> Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
> Assunto: Re:[obm-l] Isometria
>
>> > ---------- Cabeçalho original -----------
>> >
>> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>> > Cópia:
>> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
>> > Assunto: [obm-l] Isometria
>> >
>> >> >Ola Claudio.
>>     Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita precisariamos
>> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
>> -b
>> nao colineares nao garante esse fato.
>>
>>    Abs.
>> >>
>> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria.
>> >>    Provar que T(0)=0.
>> >>
>> >
>> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em
>> relacao
>> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
>> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
>> >
>> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular
>> estrita:
>> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
>> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
>> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
>> > 2|b| =
>> > |2b| =
>> > |b - (-b)| =
>> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
>> >
>> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
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>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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