Re:[obm-l] Isometria

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Tem razao. Mancada minha...

O problema eh provar que:
T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0,
onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1}

Aqui vai uma nova tentativa:

Seja T(0) = a.
Seja b um ponto qualquer de B.
O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b.
Eh claro que b tambem pertence a B.
Entao:
|T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b|   (*)
Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b|   (**)
Alem disso,
|T(b) - a| + |a - T(-b)| = 
2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==>
igualdade na desigualdade triangular, 
que associada a (*) e (**) implica que:
T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a.

Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n).
Nesse caso:
|T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==>
a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B.

Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2.
Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de comprimento 2 eh a origem.
Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah ser o centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n.
Conclusao: a = 0.

Acho que agora foi...

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT)
Assunto: Re:[obm-l] Isometria

> > ---------- Cabeçalho original -----------
> >
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Cópia:
> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT)
> > Assunto: [obm-l] Isometria
> >
> >> >Ola Claudio.
>     Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita precisariamos
> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a,
> -b
> nao colineares nao garante esse fato.
> 
>    Abs.
> >>
> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria.
> >>    Provar que T(0)=0.
> >>
> >
> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em relacao
> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao
> > pertencem a reta que passa pela origem e por a).
> >
> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular estrita:
> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| =
> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| =
> > |b - 0| + |0 - (-b)| =
> > 2|b| =
> > |2b| =
> > |b - (-b)| =
> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao.
> >
> > Logo, soh pode ser T(0) = 0.
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> > =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =========================================================================
> >
> 
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 
> 


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================