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RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Uma forma de
resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.
Seja g(x,y,z) = x +
y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh
o multiplicador de Lagrange
Igualando a 0 as derivadas parciais de g com
relacao a x, y, z e L, obtemos
1 - L y^2 z^3
=0
1 - 2L xy z^3
=0
1 - 3L x y^2 z^2
=0
x.y^2.z^3 - 864 =
0
Da 1a equacao, L =
1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem
1 - 2 x/y = 0
=> y = 2x
1 - 3x/z = 0 => z
= 3x
Substituindo na
ultima, vem entao
x . 4 x^2 . 27
x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z
= 3 raiz(2)
Veja que, mantendo y
constante num valor positivo e fazendo x -> oo, podemos sempre encontrar um
valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh
possivel fazer x + y + z -> oo. Desta forma, a solucao encontrada
nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh
unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se
houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o
que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z >0 para
todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter
garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana.
Assim, o valor
minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo,
talvez ateh mais facil
Artur
l
[Artur
Costa Steiner]
sagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno
Carvalho
Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007
13:06
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema
sobre valor minimo
Peço ajuda na resolução do seguinte problema.
Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864
, qual o mínimo valor possível para x+y+z ?
Opções:
a)6 raiz de 2
b)4raiz de três
c)9
d)6raiz de três.
Desde já agradeço a ajuda.
Bruno
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