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[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Outro de Teoria dos números

Grande solução!
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: quinta-feira, 3 de maio de 2007 16:54
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Outro de Teoria dos números

 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 3 May 2007 10:35:21 -0300
Assunto: [obm-l] Outro de Teoria dos números
> Neste realmente empaquei. Alguem tem alguma sugestao para provar isto?
>
> Seja n inteiro positivo tal que mdc(n , 10) = 1. Entao, os 3 ultimos algarismos de n^101, incluindo eventuais zeros aa esquerda, sao os mesmos que os de n. Por exemplo, 1233^101 termina com os algarismos 233 e e 37^101 termina em 037
>
> n termina em 1, 3, 7 ou 9, mas nao consegui concluir.
>
> Abracos
> Artur
>
 
mdc(n,10) = 1 ==>
mdc(n,1000) = 1 ==>
mdc(n,125) = mdc(n,8) = 1 ==>
(teorema de Euler, levando em conta que que Phi(125) = 100 e Phi(8) = 4)  
n^100 == 1 (mod 125)  e  n^4 == 1 (mod 8) ==>
n^100 == 1 (mod 125)  e  n^100 == 1 (mod 8) ==>
n^100 == 1 (mod 125*8) ==>
n^101 == n (mod 1000).
 
[]s,
Claudio.
 
 
 
n^400 - 1 = (n^100 - 1)*(n^100 + 1)*(n^200 + 1)