Re: [obm-l] Halliday

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Ola Diego,

vamos dizer que o projetil foi lancado com velocidade inicial v0 e
angulo theta..
entao vamos analisar o movimento em y:
y = h + v0sen(theta)t - gt^2/2
queremos que ele chege ao chao, portanto:
0 = h + v0sen(theta)t - gt^2/2

daqui temos 2 solucoes.. uma negativa e uma positiva...
obviamente, somente a positiva nos interessa!
0 = gt^2/2 - v0sen(theta)t - h
t = [v0sen(theta) + sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)]/g

entao, na horizontal, ele andou:
s = v0cos(theta)*t = v0cos(theta) * [v0sen(theta) +
sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)]/g

a distancia dele ao penhasco é:
s - R... assim: v0cos(theta) * [v0sen(theta) + sqrt(v0^2sen^2(theta) +
2gh)]/g - R

temos uma condicao:
qdo ele estiver descendo a nivelado com a montanha, ele ja tem q ter
andado pelo menos R...
assim: h = h + v0sen(theta)t - gt^2/2 .... gt^2 = v0sen(theta)t... t =
v0sen(theta)/g
assim: w = v0cos(theta)v0sen(theta)/g = v0^2sen(2theta)/(2g) >= R

entao, temos que minimizar:
v0cos(theta) * [v0sen(theta) + sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)]/g - R
com a condicao:
v0^2sen(2theta)/(2g) >= R

eu acredito que temos o minimo qdo v0^2sen(2theta)/(2g) = R, mas...
vamos utilizar isso!
apenas para constar, caso nao utilizassemos isso, poderiamos utilizar
o teorema de Kuhn-Tucker... que acha maximos de campos escalares com
restricoes com desigualdades... basta inverter o sinal do que queremos
minimizar e maximiza-lo (nao sei c fui claro! hehe)

considerando: v0^2sen(2theta)/(2g) = R, temos, substituindo na outra equacao:
R + v0cos(theta)*sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)/g - R =
= v0cos(theta)*sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)/g

entao temos que minimizar: v0cos(theta)*sqrt(v0^2sen^2(theta) + 2gh)/g
onde v0^2sen(2theta)/(2g) = R

basta substituirmos uma na outra e derivarmos...
dai encontramos o angulo e o modulo da velocidade que miniminizam x..

espero ter ajudado
abracos,
Salhab












On 4/14/07, Diego Alex Silva <diego.questoes@gmail.com> wrote:
>  Um projétil é lançado de um ponto a uma distância R da borda de um penhasco
> de altura h, de tal modo que atinge o solo a uma distância horizontal "x" da
> parede do penhasco (x está após a parede do penhasco). Se vc deseja o menor
> valor possível de "x", como você ajustaria o vetor de lançamento (v) e seu
> ângulo com a horizontal, supondo que o vetor possa variar desde zero até um
> certo valor máximo finito e que o ângulo com a horizontal possa ser variado
> continuamente?
>
>
>
>  Alguém se habilita????
>
>  Grato, Diego
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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