[obm-l] "blow up" em EDOs

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal:

Estou tentando resolver o seguinte problema:
Prove que o problema de valor inicial:
dx/dt = t + x^2
x(0) = a > 0
tem uma solucao unica, a qual tende a +infinito em tempo finito.

Se a equacao fosse dx/dt = x^2, entao a solucao seria x(t) = 1/(1/a - t), 
a qual -> +infinito quando t -> 1/a pela esquerda.

Como, para t > 0, t + x^2 > x^2, a solucao da equacao original (que existe e eh unica pois t+x^2 eh uma funcao infinitamente 
diferenciavel de t e x, quaisquer que sejam t e x reais) deve tender a +infinito ainda mais rapidamente.
No entanto, estou com dificuldade pra provar esse fato que me parece intuitivamente obvio.

Em geral, se temos dois PVIs:
dx/dt = f(t,x); x(t_0) = a
e
dy/dt = g(t,x); y(t_0) = b
onde: 
f, g: U -> R (U = aberto de R^2) sao suficientemente bem comportadas para que cada PVI tenha solucao unica,
a >= b, e 
f(t,x) >= g(t,x) para todo (x,t) em U,
entao eh de se esperar que x(t) >= y(t) para cada t no qual x e y estejam ambas definidas.

Problema: prove isso (ou de um contra-exemplo)

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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