RES: [obm-l] Perguntas de trigonometria

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Na realidade, esta conclusao não se limita aa funcao seno, mas vale para qualquer funcao periodica, continua e nao constante.

 

Vamos mostrar a seguinte afirmacao: Se f: R-> R  eh periodica, continua e nao constante em R, entao a funcao g(x) = f(x^2) não eh uniformemente continua.

 

Seja p>0 o periodo fundamental de f. Como f nao eh constante, existem a e b em R tais que f(a) <> f(b). Sejam a_n e b_n sequencias dadas por a_n = raiz(a +  n*p) e b_n = raiz(b + n*p). Entao, lim (a_n - b_n) =0 e lim (g(a_n) - g(b_n)) = lim( f(a + n*p) -  f(b + n*p)) = lim (f(a) - f(b)) = f(a) - f(b) <> 0, pois f(a) <> f(b). Sabemos que uma funcao h eh uniformemente continua em R se, e somente se, para todas sequencias u_n e v_n em R tais (u_n - v_n) -> 0, tenhamos que (h(u_n) - h(v_n))  -> 0 . Como isto nao se verifica para o caso de g e das sequencias a_n e b_n, concluimos que g nao eh uniformemente continua.

 

Corolario: Se f: R-> R  eh periodica, continua e nao constante em R, entao a funcao g(x) = f(x^2) não eh periodica.

 

Sabemos que, se uma funcao for periodica e continua em R, entao esta funcao eh uniformemente continua em R.  Dado que g eh continua (composicao de duas funcoes continuas) mas, conforme visto, nao eh uniformemente continua, segue-se, por contraposicao,  que g nao eh periodica em R.

 

 

[Artur Costa Steiner] 

 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Ronaldo Alonso
Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 12:59
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Perguntas de trigonometria

On 2/25/07, Pedro Costa <npc1972@oi.com.br> wrote:

 

      Colegas da lista, me tire algumas duvidas.

 

  1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar?

 

 

  Não existe T tal que f(x) = sen(x^2) = sen((x + T)^2)  = f(x+T) ==>

 

     x^2 = (x + T)^2 + 2k*pi  (k inteiro)

    x^2 = x^2 + 2xT + T^2 + 2k*pi

 

    2xT+T^2 + 2k*pi  = 0    

 

    T = (-2x +- raiz(4x^2 - 4k^2))/2

       = -x +- raiz(x^2 - k^2)

 

   Bom... então se T depende de x,

   é claro que a função não pode ser periódica ...

 

[]

 

 

  2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n diferente de um.Se não como faço para demonstrar.

 

 

     quem é um racional?

 

 3.  A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu uso parar diferenciar ? 

  Neste caso não há notação específica (não que eu conheça).

 

[]s

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Analista de Desenvolvimento
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.