[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Artur Costa Steiner
Enviada em: segunda-feira, 9 de abril de 2007 10:02
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Temos, para todo r>0,  que a funcao f(x) = 1/(x*(Log(x)^r)) eh positiva e montonicamente decrescente em [e^(-r) , oo). (pode checar determinando a derivada). Assim, o teste da integral eh aplicavel. 

Se ha I = Int (2 a oo) 1/(x*(Log(x)^r))dx =  Int (2 a oo) (1/x)* (Log(x))^(-r))dx

Se r<>1, r>0, entao I = [-1/(-r + 1) * (Log(x))^(-r + 1)] (2 a oo). Para nossos objetivos, soh interssa o limite desta funcao quando x -> oo. Se 0 < r <1, entao - r+ 1 >0 e a integral vai para infinito. Logo, a serie tambem diverge, indo para oo. 

Se r >1, -r + 1 <0 e como Log(x) -> oo, (Log(x))^(-r + 1) -> 0, der modo que a integral e a serie convergem.

Se r= 1, entao nossa integral eh simplesmente I = Log(Log(x) [2 a oo) que diverge.

Conclusao:

se 0 < r <=1, a serie diverge
se r > 1, a serie converge.

Abracos
Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Arlane Manoel S Silva
Enviada em: sábado, 7 de abril de 2007 14:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas


   Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da
integral. 
 
 seja bem-vindo.

Citando Claudio Gustavo <claudioggll@yahoo.com.br>:

>   Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta
> lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito
> de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge.
> Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n
> diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1.
>     Obrigado.
> 
>  __________________________________________________
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> http://br.messenger.yahoo.com/ 


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Arlan Silva
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