Re:[obm-l] Homomorfismo sobrejetor

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 23 Mar 2007 19:51:51 -0300 (ART)
Assunto: [obm-l] Homomorfismo sobrejetor

> Olá para todos! Estou com o seguinte problema:
>    
>   Seja d um divisor de n. Prove que o homomorfismo natural de (Z/nZ)* em 
>   (Z/dZ)* é sobrejetor. 
>   Obs.: (Z/mZ)* é o grupo das unidades do anel (Z/nZ).
>    
>   Eu pensei no seguinte: Tome k um elemento de (Z/dZ)*. Então (k,d)=1. Se (k,n)=1 então basta tomar k em (Z/nZ)*. 
Agora, se (k,n) > 1, então dentre os números {1,2,...,n/d-1} deve existir um i tal que (ik+d,n)=1. Porém, não consigo mostrar 
este último fato.
>    

Se voce quiser pegar pesado, basta usar o teorema de Dirichlet.
Como (k,d) = 1, existem infinitos primos da forma ik+d (i em Z).
Tome um que nao divida n e acabou (i nao precisa estar em {1,2,...,n/d-1}).

Mas certamente deve haver alguma solucao mais elementar...

[]s,
Claudio.

>   Se alguém souber provar este fato, gostaria de ver a prova (ou se não for verdade, um contra-exemplo). Ou ainda, se 
alguém souber resolver o problema de outro modo...
>    
>   Grato,
>    
>   Tertuliano.
>    



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