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Re: [obm-l] lema de gauss



Oi Rafael e demais colegas da lista,



Eu também já vi um execício no qual tinha uma equação do quarto e o cara 
conseguiu

Transformá-la em um produto de dois polinomios de segundo grau,afirmando que 
utilizou

O chamado teorema de Gauss sem ao menos enunciá-lo . Fiquei intrigado com 
isso pois

Achei interessante a fatoração.Não sei que teorema de Gauss é esse,mas 
observando a fatoração elaborei as seguintes estratégias não sei se estão 
totalmente certas gostaria da opnião dos colegas,com essas estratégias 
conseguimos resolver questões interessantes,veja:





P(x)=x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0



P(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)



(i) b.d = a_0



(ii)a+c=a_3

(iii)ac=a_2-(d+b)



delta = (-a_3)^2 - 4.1.[a_2-(d+b)] = 4(d+b) + a_3^2 - 4a_2



De (i) achamos todos os inteiros b e d tais que b.d=a_0



Para auxiliar observe os exemplos:



.............................

Exemplo1:IME-04/05-questão4

x^4-2x^3-11x^2+18x+18=0



{b,d}={1,18}{-1,-18}{2,9}{-2,-9}{3,6}{-3,-6}



delta = 4(d+b)+48 = 4(d+b+12)  vamos pegar aqueles que tornam delta quadrado 
perfeito  {d,b}={-2,-9}

temos o sistema:

a+c=-2   =>{a,c}={0,-2}

ac=0



P(x)=(x^2+b)(x^2-2x+d) =>-2b=18 =>b=-9 logo d=-2

E temos a fatoração: P(x)=(x^2-9)(x^2-2x-2)

..........................

Exemplo2: IME-04/05-questão4



x^4-12x^3-44x^2-32x-52=0

{b,d}={1,-52}{-1,52}{2,-26}{-2,26}{4,-13}{-4,13}



delta=4(d+b+80) => não dá pra fazer,pois não existe b e d tais que 
4(d+b+80)seja quadrado perfeito

................................

Exemplo3:IME-05/06-questão2

P(x)=x^4-6x^3+15x^2-18x+10

{b,d}={1,10}{-1,-10}{2,5}{-2,-5}



delta=4[(d+b)-6]  pra ser q.perf=> {b,d}={2,5}



a+c=-6 =>{a,c}={-4,-2}

ac=8



p(x)=(x^2-4x+b)(x^2-2x+d) => -4d-2b=-18 => 2d+b=9 => d=2, b=5

p(x)=(x^2-4x+5)(x^2-2x+2)

..........

Exemplo4:IME-01/02-questão9

sqrt(5-sqrt(5-x)) =  x



elevando ao quadrado temos a seguinte equação do quarto grau:



x^4-10x^2+x+20=0



{b,d}={1,20}{-1,-20}{2,10}{-2,-10}{4,5}{-4,-5}



cuidado quando a_3=0!



 a+c=a_3=0

 ac=a_2-(b+d)



temos:  a^2-Soma.a+Produto=0 => a^2=-P



ac=a_2-(b+d) deve ser negativo e -P=-ac deve ser quad.perfeito



ac = -10-(b+d) logo {b,d}={-5,-4} e temos o sistema a+c=0=>{a,c}={-1,1}

                                                                             
          ac=-1



p(x)=(x^2-x+b)(x^2+x+d) =>-d+b=1 =>d=-5 , b=-4

p(x)=(x^2-x-4)(x^2+x-5)



Abraços,Ricardo J.F.















----- Original Message ----- 
From: "Rafael" <rfa1989@gmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, February 15, 2007 9:55 PM
Subject: Re: [obm-l] lema de gauss


>    Na verdade eu queria mesmo saber como que o lema de gauss ajuda na
> fatoracao de um polinomio, pois nesse exercicio se voce resolver do
> jeito tradicional (quadrando a equacao) voce chega numa equacao de 4
> grau que "pelo lema de gauss" vira uma fatoracao de dois polinomios de
> grau2.  Como assim ???
>
>  Mas ja que comecaram a resolver o exercicio... Carlos, ja vi alguem
> falar sobre provar a convergencia daquela serie, mas nao estou
> familiarizado (ainda nao) com a manipulacao algebrica de convergencia
> e divergencia. Acho que sei o que que significa, se ela vai parar em
> algum valor ou se ela nao chega a valor algum, mas nunca fiz um
> exercicio que tivesse que provar a convergencia de uma serie.
>
> Salhab, porque voce tomou 5-x = x^2 ??? provavelmente ha uma parte do
> exercicio que voce enxergou e eu ainda nao. poderia me dizer qual é?
>
> P.S.: A solucao que eu tinha visto ate entao era essa que usa o tal de
> de lema de gauss, e outra que chama sqrt(5-x) de y e comeca a
> desenvolver o sistema.
>
>
> Obrigado
>
> On 2/15/07, Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br> wrote:
>> Olá,
>>
>> observe que, se 5-x = x^2, temos:
>>
>> sqrt(5-sqrt(5-x)) = sqrt(5-x) = x
>>
>> resolvendo, obtemos: x^2 + x - 5 = 0 ... x = [-1 +- sqrt(21)]/2
>>
>> queremos o resultado positivo, entao: x = [sqrt(21) - 1] / 2
>>
>> espero ter ajudado,
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>> ----- Original Message -----
>> From: "Rafael" <rfa1989@gmail.com>
>> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> Sent: Thursday, February 15, 2007 5:27 PM
>> Subject: [obm-l] lema de gauss
>>
>>
>> Ha um tempo atras apareceu na lista um problema do ime mais ou menos 
>> assim:
>>
>> sqrt(5-sqrt(5-x)) = x
>>
>> Um dos participantes da lista sugeriu o lema de gauss para resolver a
>> questao.
>>
>>   O que seria exatamente esse lema de gauss e mais importante ainda:
>> Como ele pode me ajudar a resolver essa questao  ( ja que pelo pouco
>> que entendi ele nao é um algoritmo para fatorar polinomios)   ???
>>
>> Obrigado
>> --------------------------------------------------
>>                      Rafael
>>
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>                     Rafael
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