Re: RES: [obm-l] sequencias

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Arthur,

Acho que analisando as subseqüências de sen(Ln(n)) a seguir dá para 
provar que sen(Ln(n)) não converge.

Chamando log2 de logaritmo na base 2 e fazendo log2(e) = p, temos: 
x(n) = sen (Ln(n) )  =  sen [  log2(n) / p ].

Se n  = 2^k , 2^(2k)  e 2^(3k), obtemos 3 subseqüências de x(n) que 
teriam que convergir para L, quais sejam:

a_k = sen k/p
b_k = sen 2k/p
c_k = sen 3k/p = sen(k/p) [ 3 - (4sen(k/p))^2 ]

Mas
De (sen2k/p) ^2 =  4.(senk/p)^2 .  [1 - (senk/p)^2 ]   teríamos   L = 
0, 1/2 ou - 1/2.
De  sen 3k/p = senk/p [ 3 - (4senk/p)^2]  teríamos  L =  L ( 3 - 
4L^2]  ou seja,  L = 0 ou sqr(3)/2   ou  - sqr(3)/2 .

Logo se provarmos que x(n) não pode convergir para L = 0, estará 
provado que x(n) não é convergente.

Amanhã vejo como fechar isto (que acho que deve ser fácil) pois já 
está na hora das corujas...
Até amanhã
Abraços,
Nehab.

At 15:11 1/2/2007, you wrote:
>Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que
>esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente
>valida
>Artur
>
>-----Mensagem original-----
>De: Artur Costa Steiner
>Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Assunto: RES: [obm-l] sequencias
>
>
>No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq.
>cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ...
>
>A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo
>em subintervalos com comprimentos dados pelos  inversos dos inteiros
>positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2,
>depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0
>por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes
>dadas mas não converge.
>
>Artur
>
>
>
>-----Mensagem original-----
>De: carlos martins martins [mailto:carlossolrac10@hotmail.com]
>Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Assunto: [obm-l] sequencias
>
>
>sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências,
>
>i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e  que
>(x_n) é limitada.
>   Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente.
>
>ii) Se (a_n)  é uma sequência de números reais definida por
>   a_1 = 1 e  a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ).
>   Mostre que 1 <= a_n <= 2.
>
>Na primeira não tive muito progresso.
>
>Na segunda consegui mostrar por indução que 1 <= a_n . Que a_n <= 2, não
>consegui, cheguei
>a_n <= 3.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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