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Olá,
acho que tem uma saída mais simples:
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]
a + b + c = 0
a = - b - c
assim: a^3 + b^3 + c^3 = -(b+c)^3 + b^3 + c^3 =
-3bc(b + c)
e: a^2 + b^2 + c^2 = (b+c)^2 + b^2 + c^2 = 2(b^2 +
c^2 + bc)
logo, o lado direito da expressao fica: -3bc(b + c)
* 2 * (b^2 + c^2 + bc) / 6 = - bc (b + c)(b^2 + c^2 + bc)
agora, o lado esquerdo:
(-b-c)^5 + b^5 + c^5 = -(b^5 + 5 b^4 c + 10
b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 + 5 b c^4 + c^5) + b^5 + c^5 = -(5 b^4 c + 10 b^3 c^2
+ 10 b^2 c^3 + 5 b c^4) = -5(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b
c^4)
logo, o lado esquerdo fica: -5(b^4 c + 2
b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4) = -(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2
c^3 + b c^4) = - bc (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)
agora, falta só uma fatoradinha, ou abrir oq
tivemos do lado esquerdo...
acho mais facil abrir, entao:
(b + c)(b^2 + c^2 + bc) = b^3 + b c^2 + b^2 c + b^2
c + c^3 + b c^2 = b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3
logo, sao iguais.
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
Sent: Sunday, November 12, 2006 9:41
PM
Subject: [obm-l] demonstração
antiga
--- Ramon Carvalho escreveu:
>
> > 1) Provar que
(a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre
> > positivo para a E R
>
> 1.1) Achar o menor valor dessa função
> >
> > 2 ) Se
a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 =
> > (a^3 + b^3 + c^3)/3
.
> > (a^2 + b^2 + c^2)/2
> >
> > Estou com
problemas nessas questões, qualquer ajuda
> > seria bem vinda
>
>
> >
> > Desde já, grato
Como a 1ª questão ja foi feita vamos a 2ª, ela foi feita por um amigo
meu, JP:
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]
=>
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/6
=>
[(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 +
(c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
5*{[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 +
(b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]} = 6*(a^5 + b^5 +c^5)
=>
5*(a^5 + b^5 + c^5) + 5*[(a^3)*b^2 +
(a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] = 6*(a^5 +
b^5 +c^5) (i) =>
a^5 + b^5 +c^5 = 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 +
(c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] (ii) =>
substituindo (ii) em (i):
5*(a^5 + b^5 +c^5) + (a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5
+c^5) =>
6*(a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>
1 = 1 (ufa !!!!)
O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
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