[obm-l] Re: [obm-l]Re: [obm-l] demonstração antiga

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Hm, vamos lá.

1) Seja x = a - 3 + 1/2. Então (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 = (x+5/2)(x-1/2)(x+1/2)(x+5/2) + 10 = (x^2 - 25/4)(x^2 - 1/4) + 10 = x^4 - (13/2)x^2 + 185/16 = (x^2 - 13/4)^2 + 1 > 0.
1.1) O valor mínimo é 1, pois (x^2 - 13/4)^2 >= 0, com igualdade para x = +-raiz(13)/2.

(só agora eu li que a primeira já foi feita, mas deixo a solução aí de qualquer jeito).

2) Uma maneira de expressar somas de potências de números é considerar uma equação polinomial que tem esses números como raízes. No nosso caso, considere a equação (x - a)(x - b)(x - c) = 0 <=> x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 0. Como a + b + c = 0, temos na verdade x^3 = -(ab+ac+bc)x + abc. Para facilitar, sejam s = -(ab+ac+bc) e p = abc, de modo que x^3 = sx + p. Multiplicando por x^n, obtemos x^(n+3) = sx^(n+1) + px^n. Como a, b, c são raízes dessa equação,
  a^(n+3) = sa^(n+1) + pa^n
  b^(n+3) = sb^(n+1) + pb^n
  c^(n+3) = sc^(n+1) + pc^n
Somando, obtemos
  (a^(n+3)+b^(n+3)+c(n+3)) = s(a^(n+1)+b^(n+1)+c^(n+1)) + p(a^n+b^n+c^n)
Sendo S(k) = a^k + b^k + c^k, temos
  S(n+3) = sS(n+1) + pS(n).
Como S(0) = a^0 + b^0 + c^0 = 3, S(1) = a + b + c = 0 e S(-1) = 1/a + 1/b + 1/c = (ab+ac+bc)/abc = -s/p,
  S(2) = sS(0) + pS(-1) = 3s + p(-s/p) = 2s
  S(3) = sS(1) + pS(0) = 3p
  S(4) = sS(2) + pS(1) = 2s^2
  S(5) = sS(3) + pS(2) = s3p + p2s = 5ps
e o resultado segue: S(5)/5 = (S(2)/2)(S(3)/3).

Essa idéia também resolve um problema de uma OBM de alguns anos atrás: se a + b + c = 0, quanto vale (a^5+b^5+c^5)^2/[(a^4+b^4+c^4)(a^3+b^3+c^3)^2]?

[]'s
Shine

--- Ramon Carvalho escreveu: 
> 
> > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre 
> > positivo para a E R 
> > 1.1) Achar o menor valor dessa função 
> > 
> > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 = 
> > (a^3 + b^3 + c^3)/3 . 
> > (a^2 + b^2 + c^2)/2 
> > 
> > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda 
> > seria bem vinda 
> > 
> > 
> > Desde já, grato



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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