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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?



Olá,
 
então, observe que:
 
Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1)
f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = -2f(2x1)
 
mas f(xy) = f(x) + f(y) ... assim: f(abcd) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d)
 
logo: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x2 * x2/x3 * x3/x4 * x4/x5) = f(x1/x5)
 
mas x5 = x1 * q^4 ... logo: f(x1/x5) = f(x1/[x1 * q^4]) = f(1/q^4) = -f(q^4) = -f(q*q*q*q) = -4f(q)
 
logo: -4f(q) = -2f(2x1)
 
mas f(2x1) = f(2) + f(x1)
 
logo: -4f(q) = -2[f(2) + f(x1)] ....... 2f(x1) - 4f(q) = -2f(2) ..... f(x1) - 2f(q) = -f(2)
 
entendeu?
 
nao refiz a questao toda, só essa parte.. entao ainda nao achei meu erro na outra solucao...
 
abraços,
Salhab
 
 
----- Original Message -----
From: J. Renan
Sent: Friday, November 03, 2006 2:54 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?

Olá novamente,

O erro que você cometeu foi o seguinte

f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4)

O enunciado diz:

Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1)

O meu problema foi justamente nessa parte, se fosse dessa forma simplificaria um pouco... mas acontece que ele não define f (a + b) =\

Bom, desenvolvendo essa parte ficaria

f(x1*x2*x3*x4) - f(x2+1) + f(x3+1) + f(x4+1) +f(x5+1)...

a partir daí não consigo lidar com a função com a soma dentro =\

Abraços e obrigado pela ajuda

J.Renan


Em 03/11/06, Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br> escreveu:
Olá novamente,
 
já em relacao a questao, vamos resolve-la sem saber que a funcao é o log, ok?
 
por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... * xn) = Soma(i=1 até n) f(xi)
 
f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * x2 * x3 * x4 * x5)
eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ... logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 * q^10
assim: f[(x1)^5 * q^10] = f[(x1)^5] + f(q^10) = 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1)
logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2)
 
agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4)
mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... tomando y = 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = -f(x)
logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q)
assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] .... 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2)
 
assim, temos um sistema:
3 f(x1) + 10 f(q) = f(2)
2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2)
 
resolvendo, temos: [ 4 * 3 + 10 * 2 ] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) ..
assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) / 2
logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2)
 
como f é injetiva, temos:
x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2
 
tenho certeza que errei alguma conta...
po.. ultimamente tenho feito bastante isso...
mas acho que deu pra entender a ideia..
 
abraços,
Salhab
 
 
 
 
----- Original Message -----
From: J. Renan
Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM
Subject: [obm-l] Função Logarítmica?

Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:


1

seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal que

f(1) = 0
f(xy) = f(x) + f(y) (x>0 y>0)

Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)

e sabendo que

Soma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e
Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 é

a) -2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1


Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa



2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando)

Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema

log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2
X² - 4Y² = 4

Então Xo + Yo vale

a) 7/4
b) 9/4
c) 11/4
d) 13/4
e) 17/4
 
A segunda questão consegui fazer "chutando" valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =)



Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.

A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!

--
Abraços,
Jonas Renan



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