|
Olá novamente,
já em relacao a questao, vamos resolve-la sem saber
que a funcao é o log, ok?
por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... *
xn) = Soma(i=1 até n) f(xi)
f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * x2 *
x3 * x4 * x5)
eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ...
logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 *
q^10
assim: f[(x1)^5 * q^10] = f[(x1)^5] + f(q^10)
= 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1)
logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2)
agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) =
f(x1/x5) = f(1/q^4)
mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... tomando y
= 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = -f(x)
logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q)
assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] ....
2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2)
assim, temos um sistema:
3 f(x1) + 10 f(q) = f(2)
2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2)
resolvendo, temos: [ 4 * 3 + 10 * 2
] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) ..
assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) /
2
logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2)
como f é injetiva, temos:
x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2
tenho certeza que errei alguma
conta...
po.. ultimamente tenho feito bastante
isso...
mas acho que deu pra entender a
ideia..
abraços,
Salhab
|