Re: [obm-l] Fun��o Logar�tmica?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Nov 02, 2006 at 10:40:15PM -0300, J. Renan wrote:
> Certa vez me disseram (ou eu li) que a �nica fun��o real que f(xy) = 
> f(x) + f(y) � a fun��o log. Isso est� correto?

Da forma como est� enunciado, n�o, n�o est� correto.

Seja f: (0,+infinito) -> R. Seja g: R -> R, g(x) = f(exp(x)).
Claramente as seguintes condi��es s�o equivalentes:

(a) f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y positivos;

(b) g(x+y) = g(x) + g(y) para quaisquer reais x, y.

Note que (a) implica em f(1) = 0, f(1/x) = -f(x) assim como
(b) implica em g(0) = 0, g(-x) = -g(x). Tamb�m � verdade que
(a) implica f(x^r) = r f(x) e (b) implica g(rx) = r g(x) 
para r racional.

As fun��es g(x) = cx obviamente satisfazem a condi��o (b).
Elas s�o as �nicas fun��es cont�nuas ou at� as �nicas fun��es mensur�veis
que satisfazem a condi��o mas existem outras fun��es g que satisfazem (b)
e que s�o descont�nuas em todo ponto. Inclusive fun��es g assim que s�o
bijetoras, existem outras que s�o injetoras mas n�o sobrejetoras
e ainda outras que s�o sobrejetoras mas n�o injetoras.

Para quem j� estudou �lgebra linear, R � um espa�o vetorial de dimens�o
infinita sobre o corpo Q dos racionais. A condi��o (b) diz que g � Q-linear,
ou seja, � uma transforma��o linear de R em R se esquecemos o resto da
estrutura de R e pensamos em R apenas como espa�o vetorial sobre Q.
Sabemos que todo espa�o vetorial tem base: seja (v_i), i em I, uma base
de R como Q-espa�o vetorial onde I � um conjunto infinito de �ndices.
Assim, podemos definir cada g(v_i) arbitrariamente e estender por linearidade.

Tudo isso depende do axioma da escolha e n�o acredito que seja poss�vel
exibir tais fun��es g, nem provar a exist�ncia delas sem o axioma da escolha.

Este assunto est� discutida em detalhes em "A primer of real functions"
de Ralph P. Boas, Jr., publicado pela MAA.

[]s, N.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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