Re: [obm-l] DUVIDA

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

x^(2n) - 1 = (x-1)(x+1)*PRODUTO(k=1...n-1)((x-w^k)*(x-w^(-k)), onde w = cis(pi/n).
Cada fator do produto eh igual a (x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x + 1).
Logo, 
(x^(2n)-1)/(x^2-1) = 
1 +x^2 + x^4 + .... + x^(2(n-1)) =
PRODUTO(k=1...n-1)(x^2 - 2*cos(k*pi/n)*x+1)

x = 1 ==>
n = PRODUTO(k=1...n-1)(2-2*cos(k*pi/n)) = 2^(n-1)*PRODUTO(k=1...n-1)(1-cos(k*pi/n))
x = -1 ==>
n = 2^(n-1)*PRODUTO(1+cos(k*pi/n))

Multiplicando, vem n^2 = 2^(2n-2)*PRODUTO(k=1...n-1)(1-cos^2(k*pi/n))
Como 1 - cos^x = sen^x, eh soh tirar a raiz quadrada dos dois membros e observar que, para x entre 0 e Pi, sen(x) > 0.

[]s,
Claudio.

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sat, 21 Oct 2006 09:18:09 -0300 (ART)
Assunto: Re: [obm-l] DUVIDA

> 
> 
> "Salhab [ k4ss ]" <k4ss@uol.com.br> escreveu:    Olá,
> 
> acho que achei uma saida..
> 
> exp(ak * i) - exp(a * i) = -2i * sen[a/2 * (k-1)] * exp[a/2 * (k+1) * i]
> 
> logo: || exp(ak * i) - exp(a * i) || = 2 * sen[a/2 * (k-1)]
> 
> assim: \prod_{k=2}^{n} || exp(ak * i) - exp(a * i) || = \prod_{k=2}^{n} 2 * sen[a/2 * (k-1)]
> 
> basta tomar: a = 2*pi/n .... a/2 = pi/n
> 
> logo: (A1A2)*(A1A3)*...*(A1An) = \prod_{k=2}^{n} 2 * sen[pi/n * (k-1)] = 2^(n-1) * sen(pi/n) * sen(2pi/n) * ... * sen[(n-1)pi/n]
> 
> agora, basta provarmos que: 2^(n-1) * sen(pi/n) * sen(2pi/n) * ... * sen[(n-1)pi/n] = n
> 
> -------------------------------------------------------------------------------------------
>    
>   eu tbm cheguei ateh aih cara(naum assim,mas com lei dos cossenos)
>   daih eh q tah foda de sair  :/
>    
>   vlw!
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