Re:[obm-l] DUVIDA

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 20 Oct 2006 23:22:35 +0000 (GMT)
Assunto: [obm-l] DUVIDA

> SE A1,A2,A3,... sao vertices de um poligono regular convexo inscrito em uma circf. prove q:
>    
>   (A1A2)*(A1A3)*(A1A4)...(A1An)=n
>    
>   pow, preciso mt desse ex. quem puder ajudar aih..
>    
x^n-1 = (x-1)(x-w)(x-w^2)...(x-w^(n-1)), onde w = cis(2pi/n).

x^n-1 = (x-1)(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1)

Logo, igualando as expressoes de (x^n-1)/(x-1), fazendo x = 1, e tomando valores absolutos, obtemos:
|1-w|*|1-w^2|*...*|1-w^(n-1)| = n.

Mas, como eh bem sabido, |1-w^k| = comprimento do segmento de reta no plano complexo que une 1 e w^k.
Alem disso, 1, w, w^2, ..., w^(n-1), as raizes n-esimas da unidade, ocupam os vertices de um poligono regular inscrito no circulo unitario.

[]s,
Claudio.





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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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