Re: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em problemas de congruência.

["Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <peterdirichlet2003@xxxxxxxxx>]

1) Prove que o polinômio  p(x)= x^9999 + x^8888+x^7777 +.....+x^1111 +1  é divisível por g(x)=x^9+x^8+x7+....+x+1.

Bem, veja que g(x) = (x^10-1)/(x-1), e que f(x)=g(x^1111)
Logo basta provar que g(x^1111)/g(x) e um polinomio.

Ou que os zeros de g(x) sao zeros de g(x^1111)

Mas isto é imediato, veja: 

Os zeros de g(x) sao as raizes 10-esimas da unidade, exceto o 1.

g(x^1111)=(x^11110-1)/(x^1111-1)

No numerador deste último cara, aparecem as raizes 10-esimas da unidade ( e varias outras entre elas :P), mas no numerador nao aparece (porque os expoentes sao primos entre si).

Puxa! Expicacao complicada hein?

Em 11/10/06, Ricardo Khawge <soziwho@hotmail.com> escreveu:

Bruno, vamos tentar o

5) Creio que enunciado é "Provar que n e n^5 tem o mesmo algarismo das
unidades, para n inteiro."

Isso equivale a mostrart que n^5==n (mod 10).
Pelo PTF n^5 ==n (mod 5), ou seja n^5 - n==0(mod 5). Como n^5 - n =n(n^4 -1)
= n(n^2 +1)(n+1)(n-1), como n(n+1) é par, o produto é par , logo n^5 - n
==0(mod 2). Então temos que n^5 - n ==0 (mod 2. 5), isto é, n^5 ==n(mod 10)
cqd.


>From: Bruno Carvalho <brunomostly@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Ajuda em problemas de congruência.
>Date: Mon, 9 Oct 2006 15:12:27 +0000 (GMT)
>
>Amigos, peço ajuda para os seguintes problemas:
>
>   1) Prove que o polinômio  p(x)= x^999 + x^8888+x^7777 +.....+x^1111 +1
>é divisível por g(x)=x^9+x^8+x7+....+x+1.
>
>   2)Mostrar que para todo inteiro positivo n:
>   a) 2^n é congruente a 1 (mód. 3).
>   b) 2^4n é congruente a 1(mód.15)
>   c) 2^3n é congruente a 1 ( mód.7)
>
>   3)Mostrar que se o inteiro positivo n não é múltiplo de 3, então:
>
>   a)2^2n+2^n+1 é divisível por 7.
>   b)3^2n+3^n+1 é divisível por 13
>
>   4) Mostrar que 2222^5555+ 5555^2222 é divisível por 7.
>   5)Provar que n e n5 tem o mesmo algarismo das unidades.
>
>   Desde já muito obrigado.
>
>   Bruno
>
>
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>  Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt

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