[obm-l] RE: [obm-l] O Gingado da Parábola (começou como bolinha numa parábola)

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Eduardo,

A sua resposta esta correta : parabens !

Eu so proponho problemas que ja foram resolvidos por algum matematico do 
passado e cuja solucao me pareceu interessante e podem ser resolvidos aqui 
sem conhecimentos mais profundos e com criatividade OU problemas que eu 
mesmo descobri e que ja resolvi. E claro que tambem ja publiquei 
conjecturas, mas muito poucas.

No caso particular desde problema, eu estava lendo um dos livros da obra 
completa do Euler e me deparei com ele : e bonito, e simples e nao envolve 
matematica avancada. Por isso publiquei. Alias, e lendo as obras originais 
de um grande Matematico que voce aprende "ao vivo" quanta intuicao, erros e 
falsas suposicoes estes caras produzem antes de gerarem os belos resultados 
que conhecemos... Constatei a mesma coisa quando li a memoria original do 
Galois e alguma coisa do Lagrange.

Muitas vezes algumas pessoas pedem solucoes. Se for pequena e facil de 
explicar eu ainda tento fazer, mas quando e longa, em geral nao dispomos de 
tanto tempo para parar e ficar escrevendo. Mas as sugestoes que dou sao 
honestas, mesmo que nao sejam muito claras. Aqui um problema que descobri, 
na mesma linha do do Euler mas um pouco mais dificil :

PROBLEMA ) Sejam A e B dois pontos do plano cartesiano nao alinhados 
verticalmente. Considere todas as curvas que passam por A e B e que, neste 
intervalo,  sejam convexas ( barriga pra baixo ) neste intervalo e tenham o 
mesmo comprimento L. IMAGINE que soltamos um corpo puntiforme de massa M do 
ponto ( A ou B ) de maior ordenada e que este corpoe desliza sem atrito ate 
o outro ponto, submetido unicamente ao campo gravitacional uniforme "g". 
suposto constante e vertical em todos os pontos. Ao longo de que curva 
Y=f(X) o tempo para ir de um ponto ao outro sera maximo ?

Eu batizei esta curva de MAXTOCRONA. Se nao cometi nenhum erro e um ARCO DE 
EVOLUTA DO CIRCULO. Como provar isso ?

Considere, a principio, o caso em que a curva Y=f(X) sao dois segmento de 
reta e preste atencao no angulo que elas devem forma. Passe para tres 
segmento e assim sucessivamente. Isso vai fazer voce suspeitar da Evoluta. 
Suponha que e a evoluta e faca a prova ( Detalhe : na abordagem desta 
questao terminei descobrindo novas propriedades da cicloide )

O problema nao e dificil, mas a solucao e bastante trabalhosa
Um Abracao pra voce !
Vamos recuperar o espirito olimpico desta nossa tao cara lista
Paulo Santa Rita
4,2157,200906


>From: Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] O Gingado da Parábola (começou como bolinha numa parábola)
>Date: Wed, 20 Sep 2006 20:41:28 +0000 (GMT)
>
>   Paulo Santa Rita  escreveu em
>Mon, 26 Jun 2006 07:09:17 -0700
>   Um fato notavel e talvez surpreendente sobre a parabola Y=X^2 pode ser 
>descoberto resolvendo a seguinte questao: IMAGINE que a parabola Y=X^2 rola 
>sem deslizar sobre o exiso dos X, tanto para a direita como para a 
>esquerda. Qual o lugar geometrico descrito pelo foco da parabola ?
>
>
>Costumo dar uma espiada nos problemas da lista que ainda estão em aberto, 
>mas quando encontro algum do Paulo, uma espiada só não é suficiente...
>   O problema foi colocado, como é usual,como uma parábola que rola, mas, 
>como ela não pode “dar uma volta” preferí pensar numa parábola basculante e 
>a imaginação me remeteu ao gingado malemolente de uma bela mulata, no bom 
>estilo de Arí Barroso.
>   A dedução está no anéxo da mensagem (devido ao desenho), onde concluímos 
>que a trajetória do foco é uma catenária.
>   De fato, como lá escreví, aparece uma propriedade interessante: 
>considerando-se a parábola de equação Y=(p/2).X^2, a normal num ponto de 
>ordenada Y intersepta o eixo de simetria à uma distância p/2 + Y do foco. 
>Seria esse mesmo o fato ao qual você se referiu Paulo?
>   Na dedução utilizei uma propriedade muito conhecida e usada, tanto em 
>Desenho, para traçar a tangente e/ou a normal, quanto na Física, em óptica 
>geométrica (lentes)ou em espelhos (ou antenas) parabólicas, como exemplos: 
>A normal é bissetriz do ângulo entre uma paralela ao eixo (que passa pelo 
>ponto P da parábola) e a reta que une P ao foco.
>   Como a parábola não desliza a abcissa do “ponto de apoio” ou de 
>tangência ao eixo dos x, referido à posição inicial do vértice (quando o 
>eixo dos y é o eixo de simetria), é o comprimento do arco, do vértice ao 
>ponto P, s , obtido pela integração de
>
>    sqrt[1+(dY/dX)^2].dX    que nos fornece
>          S = p/2[ln(sec t + tg t) + sec t. tg t   ,
>      onde tg t = dY/dX = X/p.
>   Obtemos as equações paramétricas;
>       x = p/2.ln(sec t + tg t)   e     y = p/2.sec t,
>   ou eliminando t,
>       y = p/2.cosh(2x/p)
>
>   Abraços
>
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