Re: [obm-l] Outra de Triangulo

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, gente (e especialmente o Ponce),

Você vai gostar da solução que eu encontrei pois nem precisei dos números
complexos, só da rotação e um "tiquinho" de geometria. 
Mas você vai ter que completar os "blanks"...
gostou?   Amanhã ou depois eu posto a solução completa à noite
(viu só o que dá cutucar coroas com vara curta :-) ?).  

Ai vai (sugiro usar lápis de cor, com pelo menos três cores :-) - em
homenagem ao ginásio).   

Considere o tal do triângulo ABC, o triângulo equilátero K, L e M e seu
centro O (do equilátero).  Gire a figura no sentido trigonométrico,
por exemplo, de 60 graus em torno de O e chamemos as imagens da rotação
de A', B', C', K', L', e M', respectivamente.  Naturalmente que K' é
L; L' é M e M' é K.  Note que AK = A'K'  (além disso as retas
suporte destes segmentos naturalmente fazem 60 graus).  Então K'B =
K'A'.   Logo, A'K'= BK'  (porque?).   
Chega.  Não vou dar mais colher de chá "procê"
não.    Você é muito esperto.

Agora uma digressão.  

Dois dos meus professores nas priscas eras do vestiba foi o Virgílio de
Athaide Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida, com quem aprendi 
satsfatoriamente e decentemente (mas há 43 anos)  Geometria Plana,
Desenho Geométrico e Geometria Descritiva (alem de Perspectiva). 
Sem nenhuma compulsão saudosista, lamento que a modernidade burra tenha
literalmente eliminado estas disciplinas da grade escolar usual. 
Isto talvez explique porque a maioria dos problemas com elegantes
soluções geométricas sejam em geral abordados por Geometria Analítica,
Trigonometria, etc, pela maioria de nós.    Não
desenvolvemos mais a forma natural de pensar geométrica (e eu, caramba,
já a tenho bem enferrujada).  Mas tenho saudades do tempo em que a
gente matava problemas com homotetias, reflexões, rotações, simetrias,
inversões, etc e quando as tais das linhas mágicas que adoramos não eram
tão mágicas assim (antes que algum ofendido se manifeste, não estou
falando de exceções).   Hoje, a garotada rala para encontar
espaços onde possa desenvolver tais conceitos e habilidades. 

Por isto eu tento despertar este "modo de pensar" em meus
alunos, quando posso.   Finalizando: para a gente perceber que
estas habilidades estão em outro registo do cérebro.   
Dois de meus filhos fizeram engenharia (fora euzinho) e um,
medicina.   Pois curiosamene, o médico possui mais visão
espacial que nós três juntos.   Jamais conseguimos ganhá-lo num
maldito joguinho do tipo Tetrix Tridimensional.    O
miserável era (e é) imbatível.    Vivendo e
aprendendo...

Abração e boa diversão 
Nehab

At 17:38 31/8/2006, you wrote:

Oi Nehab,
muito bom que voce tenha sido "mordido" pelo problema...mas nao faco ideia de como resolve-lo usando complexos!
Em vez disso, minha solucao e' bem "mequetrefe", e so' usa material do 4o ginasial...:-)

(hummm, na verdade tem uma passagem um pouquinho mais avancada - coisa do 3o cientifico, talvez)

Grande abraco,
Rogerio Ponce


Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net> escreveu:

Oi, gente,

Não é por nada não mas este problema tem TODA pinta de morrer por rotação (complexos)...   mas cadê tempo agora?   Rede o triângulo de 60 graus e...

Oi. Ponce, se você tá com tempo, mostre que eu estou com a razão (mesmo sem estar com a solução) !!!  :-)

Abraços,

Nehab

At 14:58 31/8/2006, you wrote:

Oi, Ítalo,

E de onde você infere, tão singelamente, que ML // AB?

Abraços,

Nehab

At 09:12 31/8/2006, you wrote:

É que não tenho desenhar agora para ilustrar melhor, mas a resposta sai pelos ângulos internos e externos, o grande lance é que ML//AB necessariamente, logo o o ang interno q MK faz AK deve ser o mesmo que MK faz com KL (60°). Aplicando isso para os demais ângulos temos que os três angulos de ABC são 60° logo ABC é equilátero.

 

Até +,

Ítalo

fernandobarcel <fernandobarcel@bol.com.br> escreveu:

Oi,

ele parece muito simples, mas faz meses que estou tentando, e não consigo resolver esse problema. Será que mais alguém tentou/conseguiu? Como é que se resolve este pesadelo?

Num triângulo ABC marcam-se os pontos K,L e M sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, tal que AK, BL e CM tenham o mesmo comprimento.

Verifica-se que o triângulo KLM é equilátero.

Prove que o triângulo ABC é equilátero.

Obrigado!

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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