N�o dispondo das ferramentas matem�ticas sofisticadas que muitos possuem aqui, acho que existe uma prova mais elementar da converg�ncia dessa s�rie.
Aproveitando a defini��o do Bruno,
Desenvolvendo a recorr�ncia da s�rie temos:
a_(n+1) = a1*2(^-n) + k
Sobre esse n�mero que eu chamei de k, vejamos o valor dele para alguns n's:
__________
| n | valor |
------------------
| 1 | 2.5 |
------------------
| 2 | 3.75 |
------------------
| 3 | 4.375 |
------------------
| 4 | 4.6875 |
------------------
A "prova" de que k � realmente essa s�rie � porque ele se constitui de uma soma infinita de fra��es.
Podemos reescreve-lo como uma soma de uma pg infinita, quando ele est� no infinito
S = 2,5 + 1,25 + 0,625 ...
quando n-> oo, S -> 5
Vamos voltar pra nossa s�rie
a_(n+1) = a1*2(^-n) + k
Quando n tornasse infinitamente grande, o primeiro termo [a1*2^(-k)] tende a zero e k tende a 5.
Espero ter ajudado (e espero tamb�m n�o ter dito as mesmas coisas do e-mail anterior, infelizmente n�o entendi todas as passagens)
Ol�
Podemos fazer isso de duas formas (h� muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui).
Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seq��ncia converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas:
|a_n - 5| = |a_n - 5| <==> |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| <==> |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| <==> |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|
Isto �, cada elemento da seq��ncia est� a metade da dist�ncia do 5 que o elemento anterior estava. Temos ent�o que:
|a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k � uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps > 0, existe um n_0 tal que n > n_0 ==> |a_n - 5| < eps (pela defini��o de converg�ncia). F�cil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k < eps <==> n_0 * ln(1/2) < eps / k <==> n_0 > eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seq��ncia converge para 5.
A outra maneira � usar um teoreminha que diz que se f � uma fun��o cont�nua e a seq a_n � definida por a_(n+1) = f(a_n) e � convergente, ent�o ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma fun��o � um valor x tal que f(x) = x). Isso � f�cil de demonstrar (e inclusive j� enviei um email aqui para a lista com uma demonstra��o gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstra��o bem mais simples, que infelizmente eu n�o tinha visto), bastando tomar o limite para n --> oo, dos dois lado da defini��o da seq��ncia.
Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seq��ncia converge para todo a_0 escolhido (o que � simples: precisa mostrar que ela � mon�tona e que � limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a <==> 1/2 * (a + 5) = a <==> a = 5.
Abra�o
Bruno
ps: aqui v�o dois exerc�cios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:
Mostre que as express�es a seguir representam um n�mero real cada e calcule-os.
a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...)))
b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...
On 8/31/06, Josh Rodrigues <
joshrodr@hotmail.com> wrote:
Ol�, hoje encontrei o seguinte exerc�cio numa apostila:
"Jo�o pegou a calculadora de seu pai e come�ou a brincar, repetindo uma
mesma seq��ncia de opera��es v�rias vezes para ver o que acontecia. Uma
dessas experi�ncias consistia em escolher um n�mero x1 qualquer, somar 5 e
dividir o resultado por 2, obtendo um novo n�mero x2. A seguir ele somava 5
a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo n�mero x3 . Repetindo esse
processo, ele obteve uma seq��ncia de n�meros
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,�, xn
Ap�s repetir o processo muitas vezes, n�o importando com qual valor tivesse
iniciado a seq��ncia de opera��es,
Jo�o reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo n�mero. Que n�mero
era esse?"
� bem f�cil ver que o n�mero � 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de
saber como que eu escrevo essa sequ�ncia e, de maneira mais rigorosa,
mostrar que xn se aproxima sempre de 5.
Muito obrigado pela aten��o.
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