Olá
Podemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui).
Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas:
|a_n - 5| = |a_n - 5| <==> |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| <==> |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| <==> |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|
Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que:
|a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps > 0, existe um n_0 tal que n > n_0 ==> |a_n - 5| < eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k < eps <==> n_0 * ln(1/2) < eps / k <==> n_0 > eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5.
A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n --> oo, dos dois lado da definição da seqüência.
Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a <==> 1/2 * (a + 5) = a <==> a = 5.
Abraço
Bruno
ps: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:
Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.
a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...)))
b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...
On 8/31/06, Josh Rodrigues <
joshrodr@hotmail.com> wrote:
Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:
"João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma
mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma
dessas experiências consistia em escolher um número x1 qualquer, somar 5 e
dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5
a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esse
processo, ele obteve uma seqüência de números
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xn
Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse
iniciado a seqüência de operações,
João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que número
era esse?"
É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de
saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa,
mostrar que xn se aproxima sempre de 5.
Muito obrigado pela atenção.
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