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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Lim ite da seqüência a_n = sen n

Nossa! Legal, Arthur, vou procurar nos arquivos da lista. Eu bem que imaginei que eu pudesse pegar uma subseqüência que levasse a qualquer número de [0,1], só que como não tinha idéia de como provar isso, acabei por não usar.

Minha demonstração foi a seguinte:
sejam b_n = a_[pi/2 + 2npi], c_n = a_[3pi/2 + 2npi], onde [x] representa o maior inteiro menor do que ou igual a x. Aí basta escrever algumas desigualdades, e considerar o crescimento de seno e mostrar que todos os temor b_n estão no intervalo [1/2, 1], e que os termos c_n estão em [-1, -1/2] (a desigualdade é : x - 1 < [x] <= x, então pi/2 + 2npi - 1 < [pi/2 + 2npi] < pi/2 + 2npi, e como -pi/3 < -1, pi/2 - pi/3 + 2npi < [pi/2 + 2npi] < pi/2 + 2npi. Como seno é crescente nos intervalos da forma [pi/6 + 2npi, pi/2 + 2npi], tomamos o seno dos termos na desigualdade, sem alterar o sentido delas, obtendo: 1/2 < b_n < 1. Analogamente para -1 < c_n < -1/2.). Dessa forma, se b_n ou c_n forem divergentes, então temos que a_n também o será. Por outro lado, se ambas as seqs b_n e c_n forem convergentes, necessariamente convergem para limites diferentes (b_n --> L em [1/2,1], e c_n --> M [-1,-1/2]), e portanto a__n é divergente. Em todo caso, a_n é divergente.

On 8/22/06, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
A sequencia eh de fato divergente, pois eh densa em [0,1]. Isto eh, todo elemento de [0,1] eh limite de alguma subsequencia de sen(n). Isto eh um caso partcular de um teorema que discutimos aqui na lista em outubro ou novembro de 2004.
 
Seja f uma funcao continua e periodica de R em R cujo periodo fundamental p seja irracional. Temos entao que a sequencia (f(n)), n=1,2,3...,eh densa no intervalo fechado f([0, p]). 
 
No caso, f(x) = sen(x), que eh continua e cujo periodo fundamental eh o irracional 2*pi.
 
Artur

 
 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno França dos Reis
Enviada em: terça-feira, 22 de agosto de 2006 15:36
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Limite da seqüência a_n = sen n

Olá.

Recentemente, me deparei com o seguinte problema: verificar se a seqüência definida por a_n = sen(n) é convergente ou divergente.

A intuição nos diz que é divergente. Encontrei uma demonstração para tal fato, mas acredito que devam ter outras mais bonitas. Alguem conhece ou quer tentar?
Não vou postar a minha demo agora para deixar quem quiser brincar. Amanhã eu posto.

Bruno

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Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0



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Bruno França dos Reis
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