Re: [obm-l] RES: [obm-l] Limite da seq��ncia a_n = sen n

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Acho que sua prova estah legal. N�o mostra que a aseq.
eh densa em [-1, 1], mas mostra que eh divergente.

Alias, na realidade sen(n) eh densa em [-1, 1] e nao
apenas em [0,1] como disse antes.

A prova do teorema geral baseia -se no fato de que, se
a eh irracional, entao o conjunto {m*a + n | m e n sao
inteiros} eh denso em R. Uma possivel prova baseia-se
no princiupio da casa dos pombos. 

Artur

--- Bruno Fran�a dos Reis <bfreis@gmail.com> wrote:

> Nossa! Legal, Arthur, vou procurar nos arquivos da
> lista. Eu bem que
> imaginei que eu pudesse pegar uma subseq��ncia que
> levasse a qualquer n�mero
> de [0,1], s� que como n�o tinha id�ia de como provar
> isso, acabei por n�o
> usar.
> 
> Minha demonstra��o foi a seguinte:
> sejam b_n = a_[pi/2 + 2npi], c_n = a_[3pi/2 + 2npi],
> onde [x] representa o
> maior inteiro menor do que ou igual a x. A� basta
> escrever algumas
> desigualdades, e considerar o crescimento de seno e
> mostrar que todos os
> temor b_n est�o no intervalo [1/2, 1], e que os
> termos c_n est�o em [-1,
> -1/2] (a desigualdade � : x - 1 < [x] <= x, ent�o
> pi/2 + 2npi - 1 < [pi/2 +
> 2npi] < pi/2 + 2npi, e como -pi/3 < -1, pi/2 - pi/3
> + 2npi < [pi/2 + 2npi] <
> pi/2 + 2npi. Como seno � crescente nos intervalos da
> forma [pi/6 + 2npi,
> pi/2 + 2npi], tomamos o seno dos termos na
> desigualdade, sem alterar o
> sentido delas, obtendo: 1/2 < b_n < 1. Analogamente
> para -1 < c_n < -1/2.).
> Dessa forma, se b_n ou c_n forem divergentes, ent�o
> temos que a_n tamb�m o
> ser�. Por outro lado, se ambas as seqs b_n e c_n
> forem convergentes,
> necessariamente convergem para limites diferentes
> (b_n --> L em [1/2,1], e
> c_n --> M [-1,-1/2]), e portanto a__n � divergente.
> Em todo caso, a_n �
> divergente.
> 
> On 8/22/06, Artur Costa Steiner
> <artur.steiner@mme.gov.br> wrote:
> >
> >  A sequencia eh de fato divergente, pois eh densa
> em [0,1]. Isto eh, todo
> > elemento de [0,1] eh limite de alguma subsequencia
> de sen(n). Isto eh um
> > caso partcular de um teorema que discutimos aqui
> na lista em outubro ou
> > novembro de 2004.
> >
> > Seja f uma funcao continua e periodica de R em R
> cujo periodo fundamental
> > p seja irracional. Temos entao que a sequencia
> (f(n)), n=1,2,3...,eh densa
> > no intervalo fechado f([0, p]).
> >
> > No caso, f(x) = sen(x), que eh continua e cujo
> periodo fundamental eh o
> > irracional 2*pi.
> >
> > Artur
> >
> >
> >  -----Mensagem original-----
> > *De:* owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]*Em
> > nome de *Bruno Fran�a dos Reis
> > *Enviada em:* ter�a-feira, 22 de agosto de 2006
> 15:36
> > *Para:* OBM
> > *Assunto:* [obm-l] Limite da seq��ncia a_n = sen n
> >
> > Ol�.
> >
> > Recentemente, me deparei com o seguinte problema:
> verificar se a seq��ncia
> > definida por a_n = sen(n) � convergente ou
> divergente.
> >
> > A intui��o nos diz que � divergente. Encontrei uma
> demonstra��o para tal
> > fato, mas acredito que devam ter outras mais
> bonitas. Alguem conhece ou quer
> > tentar?
> > N�o vou postar a minha demo agora para deixar quem
> quiser brincar. Amanh�
> > eu posto.
> >
> > Bruno
> >
> > --
> > Bruno Fran�a dos Reis
> > email: bfreis - gmail.com
> > gpg-key:
>
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> > icq: 12626000
> >
> > e^(pi*i)+1=0
> >
> >
> 
> 
> -- 
> Bruno Fran�a dos Reis
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>
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
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> 
> e^(pi*i)+1=0
> 


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