Re:[obm-l] raiz da derivada X raiz da funcao dupla

["Salhab \[ k4ss \]" <k4ss@xxxxxxxxxx>]

Olá,

então, vamos demonstrar uma coisa ainda mais forte..

Seja f(x) um polinomio com raiz "a" de multiplicidade b >= 2, entao:

f(x) = (x-a)^b * g(x), onde g(x) é um outro polinomio.
entao: f(a) = 0

f'(x) = b*(x-a)^(b-1) * g(x) + (x-a)^b * g'(x)
f'(a) = 0

se b > 2, entao, derivando novamente:
f''(x) = b*(b-1)*(x-a)^(b-2) * g(x) + b*(x-a)*g'(x) + b*(x-a)^(b-1)*g'(x) + (x-a)^b * g''(x)

novamente: f''(a) = 0

entao, por inducao, mostra-se que:

Se f(x) é um polinomio com raiz "a" de multiplicidade "b", entao "a" tambem da raiz da (b-1)-ésima derivada de f(x).

na minha solucao, utilizei b=2, entao, tambem é raiz da primeira derivada de f(x).

abraços,
Salhab


> Agradeço a todos que responderam a minha pergunta sobre resto da divisão.
> Resolver com derivadas fica bem  fácil. Vide solução do Salhab.
> 
> Minha pergunta é:
> Como demonstrar que  se uma função tem raiz dupla, tripla, etc, então essa
> raiz  será raiz da derivada um "índice" abaixo.
> 
> Obrigado.
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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