Re: [obm-l] Poligonal no Plano

["leonardo maia" <lpmaia@xxxxxxxxx>]

Cláudio, creio que o enunciado está incompleto, a não ser que eu esteja completamente fora do ar. O ponto P_1 é a intersecção da parábola y=x^2 com uma das duas retas que passam por (1,0) e fazem 60 graus com o eixo x,

y = sqrt(3) . x - sqrt(3)

e

y = -sqrt(3) . x + sqrt(3).

A intersecção só é possível no segundo caso, mas há duas soluções. Parece haver uma ambigüidade quanto à definição de P_1.

[], Leo.

On 8/10/06, André Araújo <araujoime@gmail.com > wrote:

Claúdio,

uma solução seria tomando as projeções dos segmentos sobre o eixo x. Pois bem, seja Q_(2n+1) a projeção de P_(2n+1) sobre o eixo x. O comprimento da poligonal P_0Q_1P_2Q_3...Q(2n+1) quando n tende para infinito é a distância de P_0 até a origem, ou seja, igual a 1. Só que P_(2n)Q_(2n+1) = P_(2n)P_(2n+1)*cos 60 => P_(2n)P_(2n+1) = 2*P_(2n)Q_(2n+1). Assim o  comprimento da poligonal P_0P_1P_2P_3....P_n, quando n tende a infinito é igual a 2.

[ ]'s
André Araújo.

Em 10/08/06, claudio.buffara < claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:

Quão difícil é este problema?

 

Considere a seguinte sequência de pontos em R^2:

P_0 = (1,0)

P_1 = ponto da curva y = x^2 e vértice do triângulo equilátero P_0P_1P_2 cuja base P_0P_2 situa-se sobre o eixo x.

P_2 = terceiro vértice do triângulo equilátero mencionado acima.

Daí em diante, teremos que, para n >= 1, P_(2n), P_(2n+1) e P_(2n+2) serão vértices de triângulos equiláteros cujas bases (P_(2n)P_(2n+2)) situam-se sobre o eixo x e cujo terceiro vértice (P_(2n+1)) situa-se sobre a curva y = x^2.

Calcule o comprimento da poligonal P_0P_1P_2P_3....P_n, quando n tende a infinito.

 

[]s,

Claudio.