[obm-l] Produto Vetorial

["Henrique Rennó" <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

Olá!!!

Gostaria de saber se alguém poderia dar uma demonstração de como são
definidos os componentes de um vetor perpendicular a outros dois
vetores utilizando o produto vetorial em três dimensões. Eu sei que é
necessário calcular o determinante dos dois vetores da seguinte forma
para achar o vetor:

|  i     j   k |
| x1 y1 z1 |  =  (y1z2) i + (x2z1) j + (x1y2) k - (y2z1) i - (x1z2) j
- (x2y1) k.
| x2 y2 z2 |

Dessa forma as componentes do vetor resultante serão:

 (y1z2 - y2z1 , x2z1 - x1z2 , x1y2 - x2y1).

Mas como pode ser demonstrada essa relação entre o determinante e o
vetor perpendicular???

A necessidade dessa demonstração surgiu quando precisei calcular a
área entre dois vetores de duas dimensões.

Representei os dois vetores u e v num sistema x,y e calculei a área do
paralelogramo formado por eles como |u|.|v|.sen(c), onde "c" é o
ângulo entre os dois vetores. Depois representei c = b - a, em que "b"
e "a" são os ângulos entre os vetores v e u, respectivamente, e o eixo
x.

Utilizando a fórmula sen(c) = sen(b-a) = sen(b)cos(a) - cos(b)sen(a)
achei a área do paralelogramo como ux.vy - uy.vx, que é o determinante
entre a matriz composta pelos componentes de u e v.

| ux uy |
| vx vy  |

Estendendo para três dimensões não sei como demonstrar o produto
vetorial, o qual em vários livros já é dado definido como mencionei
acima e que essa operação entre vetores fornece um vetor perpendicular
aos dois vetores sobre o qual foi calculado.

Também li que o produto escalar entre o vetor perpendicular resultante
e um outro vetor w diferente de u e v (em que w tem a origem
coincidindo com origem de u e v) fornece o volume do sólido formado
pelos vetores u, v e w.

Essa definição consegui mostrar utilizando a base inferior e superior
do sólido e utilizando o cosseno entre o vetor w e um outro vetor
perpendicular que formam um ângulo "d" calculei a altura do sólido
como |w|.cos(d).

Volume = área da base * altura = | u x v | * | w | * cos(d), que é o
produto escalar entre o vetor u x v e w. Volume = | (u x v) . w |

A igualdade cos(theta) = (A.B) / |A||B| pode ser verificada através do
cosseno da diferença de dois ângulos.

Assim, se puder existir uma demonstração simples e clara do produto
vetorial ficarei muito grato. Estou estudando Álgebra Linear e os
livros que peguei na faculdade em nível de Graduação não são tão
didáticos, sendo que os autores consideram que o leitor já tenha
conhecimento de diversos conceitos para várias fórmulas que são apenas
dadas. É bem diferente de livros utilizados no Ensino Médio.

Pediria também alguma indicação para livros sobre o assunto Álgebra
Linear. Sempre estudo matemática e adoro a "rainha das ciências", mas
agora vejo que o nível de abstração está ficando cada vez maior.

Grato pela atenção,

-- 
Henrique

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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