[obm-l]

["Leonardo Borges Avelino" <topgun.lba@xxxxxxxxx>]

Cara.... essa primeira eu fiz assim espero q esteja td ok

Sejam os reais positivos a,b e c, tem-se:

c(a^2-ab+b^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 >= b(a^2+ac+c^2)^1/2  (i)
por simetria podems escrever tb:
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + c(a^2-ab+b^2)^1/2 >= a(b^2+bc+c^2)^1/2  (II)
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 >= c(a^2+ab+b^2)^1/2   (III)

somando I II e III vem:
2c(a^2-ab+b^2)^1/2 + 2a(b^2-bc+c^2)^1/2  + 2b(a^2-ac+c^2)^1/2 >=
b(a^2+ac+c^2)^1/2  + a(b^2+bc+c^2)^1/2  + c(a^2+ab+b^2)^1/2

agora transpondo os termos do segundo membro para o primeiro teremos:
a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ] + b[2(a^2-ac+c^2)^1/2 -
(a^2+ac+c^2)^1/2 ] + c[2(a^2-ab+b^2)^1/2 - (a^2+ab+b^2)^1/2 ] >= 0
basta provarmos q cada uma destes fatores saum >=0
Suponha q:  a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ] < 0
rearranjado td teremos 3b^2 - 5bc +3c^2 < 0 mas isso equivale a
3(b-c)^2 + bc < 0.. absurdo!!
logo a desigualdade persiste e eh maior q 0... Agora naum consegui
achar qdo ocorre a igualdade...peço ajuda e possíveis correções

Abraço a todos..
Leonardo Borges Avelino

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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