Re: [obm-l] Soluções Inteiras da Eq. Segundo Grau.

["Cesar Kawakami" <cesarkawakami@xxxxxxxxx>]

Temos que as raízes são -m +- sqrt(m^2 - n), e são inteiras se, e
somente se, m^2 - n = k^2, k inteiro.

<=> m^2 = n + k^2 <=> n = m^2 - k^2.

Portanto, os pares (m, n) tais que x^2 - 2m x + n == 0 admite raízes
inteiras são {(m, m^2 - k^2), m e k inteiros}.

Bom, eu acho que é isso. Se algo estiver errado, me avisem... hehe.



[]'s
Cesar Ryudi Kawakami

On 6/12/06, rlalonso@lsi.usp.br <rlalonso@lsi.usp.br> wrote:
> Inspirado no problema anterior (xx^2+yy^2= xxyy^2) andei pensando
> algumas coisas e algumas questões interessantes.
>
> Questão:
>
>   Qual relação deve existir entre m e n para que as soluções de
>  x^2 + 2m x + n = 0 com m e n inteiros sejam inteiras?
>
>   Eu pensei no seguinte:
>
>    Como x = -m +- sqrt(m^2 - n) temos que ter o radicando inteiro.
>  A soma dos primeiros m números ímpares é o quadrado de m:
>   m^2 = soma (i=1 até m) 2*i - 1
>   (m-1)^2 = soma(i=1 até m-1) 2*i - 1
>    ==>
>    (m-1)^2 + (2m-1) = m^2
>    (m-1)^2 = m^2 - (2m-1)
>
>    Se (2m-1) = n temos:
>    m^2 -n = (m-1)^2
>
>    e desta forma:
>
>     x = -m +- sqrt (m^2-n)
>       = -m +- (m-1)
>       = -m + m -1 = -1
>       ou -m -m +1 = +1
>
>    Mas essa não é a solução geral n = 2m-1.
>    Se n = 2(m-1)-1 + 2m-1 eu acredito que funciona também,
> pois estamos tirando os dois últimos ímpares da soma.
>
>    Existe alguma falha em meu raciocíno? Alguem consegue
> achar uma solução geral usando essas idéias?
>
> []s.
>
>
>
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================